摘 要： 本文研究的是对帐篷的设计用料最省的问题。作者通过对帐篷的用途的分析，利用建立求解帐篷面料大小及支杆大小的初等数学模型和选择支杆材料及防雨材料的数学模型。

　　关键词： 初等数学 棱锥 数学模型

　　一、问题重述

　　假设你是一个户外运动的爱好者，你希望你的帐篷牢固、抗风、防雨，有尽可能大的室内空间；因为财力物力均不允许，所以要使所设计的帐篷面积最小且符合要求。这是一个优化模型。

　　首先原材料均需购买，所以我先通过网上调查设计帐篷所需要的原材料种类、规格、性能及价格，根据所需选定原材料，又因为市面上材料价格参差不齐，所以选择较便宜的且符合自身设计要求的材料。

　　其次我设计的侧重面主要是防雨，而其他的性能均通过材料的提高达到；防雨，一方面是下雨时不可以让雨水漏进帐篷，另一方面就是帐篷不可以有雨水的堆积，从而使帐篷发生坍塌；而前者我们可以通过采购好的有防水涂层的面料来作为帐篷的外帐，后者则需要设计较好的外形，而这个外形设计则为我本次模型的侧重点。

　　由浅入深讨论，通过简化帐篷的形状，假设帐篷为一个三棱柱（四棱台会积水），对会淋到雨的两个侧面进行受力分析，使侧面受到的力最小，那么帐篷便不易被击垮。侧面所受力是雨滴给的，而雨滴的力不仅仅是雨滴的质量（分析时，雨滴质量过小，可以忽略不计），雨滴从高空落下最开始做自由落体运动，因为受空气阻力的作用，后期受力平衡做匀速运动，落到帐篷上具有一个收尾速度，由收尾速度可以得出打在帐篷上的水柱高度，再利用压力方程可以计算出水滴给帐篷上一点的压力；对帐篷面的受力情况，进行力的分析，求帐篷受力最小值的情况下帐篷侧面与水平面的夹角。

　　最后，通过受力分析、作图、计算等一系列步骤，计算出最适合的外形轮廓。

　　二、问题假设

　　1.假设风向水平与地面。

　　2.假设降雨方向为垂直于地面。

　　3.假定帐篷为棱锥体。

　　4.不考虑帐篷的透风性。

　　5.假定帐篷底面的长度大于或等于其宽度x≥y。

　　三、符号说明

　　x：帐篷底面的长度。

　　y：帐篷底面的宽度。

　　z：帐篷的高度。

　　l：人体身高。

　　l■：风绳的长度。

　　l■：支架的长度。

　　S■：帐篷地面面积。

　　S：帐篷总面积。

　　wp■：单位面积风的动压。

　　wp■：单位面积雨水的动压。

　　r■：风的密度。

　　v■：风的速度。

　　r■：雨水的密度。

　　v■：雨水的速度。

　　Fn：支架所支撑的力。

　　F■：帐篷所承受的风力。

　　F■：支架所支撑的力。

　　四、模型的建立与求解

　　在研究帐篷时，因为要考虑到帐篷的稳定性，也就是帐篷在抗风压、雨水压力时的支撑能力，以及自身的稳定性（不易变形，支撑时不易发生滚动等）方面考虑，我选用棱锥作为帐篷的骨架。同时要考虑到内部空间要适宜人的休息和活动，所以最终选择了四棱锥作为基础的骨架。然后从人体因素和环境因素考虑帐篷的大小要求和通过抗风性能及抗雨水能力对表面材料的选择。

　　建议模型如下：

　　1.人体因素

　　建立帐篷的目的是人短时间居住在里面，所以帐篷的底面积及长宽高要在一定的程度上适宜人的居住。所以需要帐篷的底面积s要大于人体平躺睡眠时需要占有的横截面积。并且帐篷的地面长度x要大于人体的身高l。然而人的高矮胖瘦存在一定的不同，所以帐篷的宽度y要远大于人体的单臂展长度，通常人体的单臂章长度为（1-0.618）l。因此可有条件：

　　X>l，y>（1-0.618）l

　　又根据面积公式可得出帐篷的底面积为：

　　因为帐篷是人类在室外活动的简易场所，当风力大于八级时风力已超过了成人室外活动最大风力承受值，所以不予考虑超过7级以上的风力。假定帐篷地面长度为2m，高度为1m，帐篷自重10kg。经过计算得出不同风力对应的支杆应该承受的力如下：

　　同时经过调查不同支杆所承受的最大压力不同，如此可通过将要宿营的地方的风力特点及最大风力选择合适的支杆制作帐篷的支架。如下表所示：

　　对于帐篷的面料及其防雨性能的选择与抗风有所不同，面料只需选取190Td涤纶即可。而防御主要是从面料的表面涂料实现其功能的。防雨量的性能指标是按每平方厘米承受多少毫米的水柱计算的。同时，降雨量是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的深度。其中小雨指日降雨量在10毫米以下；中雨日降雨量为10～24.9毫米；大雨日降雨量为25～49.9毫米；暴雨日降雨量为50～99.9毫米；大暴雨日降雨量为100～250毫米；特大暴雨日降雨量在250毫米以上。经整理如下：

　　考虑到降雨等级达到暴雨时已经威胁到人在室外的安全的问题，我们在计算时不予考虑暴雨及其以上级别的宿营帐篷。防雨水是指在一定的水压冲淋1小时面料没有明显渗水。通常雨伞的防水能力是PU1000mm。根据调查可知，在野外环境中PU800涂层可以防小到中雨，PU1000―1200的涂层可以防中到大雨。如此可根据宿营地的降雨情况进行选取涂层涂料。

　　综合上面两方面情况可整理出制作帐篷的材料的限定条件如下：

　　需要的面料大小：

　　如此对照上述内容可以根据具体的个人情况和宿营地情况进行选择。

　　按照我认自身的条件建立一个帐篷如下：

　　我个人身高为178cm。宿营地为hz的bmh，平均降雨量20～37mm。常见最大风力为4级。所以需要的涤丝尼龙面料大小为109550cm，支架选用铝合金长度为180.3cm，防雨材料采用PU10002。

　　五、模型评价

　　此模型较好地分析了雨对于帐篷面的影响，并且模型建立时候，思路较清晰；但是因为主要是考虑雨水对于帐篷的影响，其他方面的影响没有深入考虑，而那些影响并不是可以单纯地依靠材料的提高达到的，因为材料性能的提高，与之相对的价格也会变高；模型只是将帐篷外形简化成一个四棱柱，但是真实的帐篷形状并不是这样的，模型还应该更深入讨论。

　　参考文献：

　　[1]韩玮.现实生活中最优化问题的数学模型构造[J].数学通报，2007，46（2）.

　　[2]杨启帆.数学建模[M].高等教育出版社，2005.5.

　　[3]颜文勇.数学建模[M].高等教育出版社，2011.6.

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