【摘 要】全概率公式和逆概率公式是概率论中两个非常重要的概率计算公式，其关键在于对样本空间的合理划分。如何对样本空间进行划分，是很多学生感到困惑的一个难题。本文给出了对样本空间进行划分的一般方法，并通过几个例题进行说明。

　　【关键词】全概率公式 逆概率公式 样本空间的划分

　　【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）05－0026－02

　　一 全概率公式和逆概率公式

　　定义1：设S是随机试验E的样本空间，B1，B2…，Bn是E的一组事件，若：（1）BiBj＝Φ，i≠j；（2）B1∪B2∪…∪Bn＝S，则称B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分。

　　注：若B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，则：

　　P（B1）＋P（B2）＋…＋P（Bn）＝1

　　定理1：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，则：

　　P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋…

　　＋P（Bn）P（A｜Bn）

　　此公式称为全概率公式。

　　定理2：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，P（A）＞0，则：

　　P（Bk｜A）＝ （k＝1，2，…，n）

　　此公式称为逆概率公式（也称贝叶斯公式）。

　　从定理1和定理2可以看出，不论是全概率公式，还是逆概率公式，都需要给出样本空间的一个划分B1，B2…，Bn。如何对样本空间进行合理划分是求解问题的关键。下面，我们给出对样本空间进行划分的基本原理，并通过实例进行说明。

　　二 对样本空间进行划分的基本原理

　　原理1：若完成某项试验需要多个步骤，问题关心的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面某个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。

　　我们通过下面两个例子对原理1进行说明。

　　例1，设有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和4个白球，乙盒中有2个红球和3个白球。现从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒任取一球，问从乙盒取到白球的概率为多少？

　　【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：从甲盒任取一球；步骤2：从乙盒任取一球。问题关心的是第二个步骤完成后的结果，那么根据原理1，我们可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分，即：从甲盒取到红球或白球。

　　解：设B1＝｛从甲盒取到红球｝，B2＝｛从甲盒取到白球｝；A＝｛从乙盒取到白球｝。

　　则B1、B2就是对样本空间的一组划分，且：

　　P（B1）＝ P（A｜B1）＝

　　P（B2）＝ P（A｜B2）＝

　　由全概率公式，得：

　　P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）

　　例2，在电报通讯中发出“0”和“1”的概率分别为0.6和0.4。由于干扰，当发出信号“0”时，分别以概率0.8、0.1和0.1接收为“0”、“1”和模糊信号；当发出信号“1”时，分别以概率0.7、0.1和0.2接收为“1”、“0”和模糊信号。（1）求收到模糊信号的概率为多少？（2）如接收到的是模糊信号，把它翻译成？

　　【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：发出信号；步骤2：接收信号。问题关心的是第二个步骤完成后的结果（收到模糊信号），那么由原理1，可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果来对样本空间进行划分，即：发出信号“0”或“1”。

　　解：设B0＝｛发出信号“0”｝，B1＝｛发出信号“1”｝；A＝｛接收到模糊信号｝。

　　则B0、B1就是对样本空间的一组划分，且：

　　P（B0）＝0.6 P（A｜B0）＝0.1

　　P（B1）＝0.4 P（A｜B1）＝0.2

　　（1）由全概率公式，得：

　　P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）

　　＝0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.14

　　（2）由逆概率公式，得：

　　P（B0｜A）＝

　　P（B1｜A）＝

　　答：把模糊信号翻译成“1”更好。

　　有时，随机事件之间看不出明显的步骤差异。在这种情况下，我们可以依据以下原理对样本空间进行划分。

　　原理2：若样本空间的样本点可以根据不同的方法进行分类，而问题关心的是按照某一分类方法进行分类是某种可能结果发生的概率，则我们可以根据另外一种分类方式对样本空间进行划分。

　　我们通过下面两个例子对原理2进行说明。

　　例3，设某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%和20%，且各车间的次品率分别为2%、3%和5%。现在从待出厂的产品中任意抽取一件，（1）求其为次品的概率；（2）已知抽中的是次品，问其来自哪个车间的可能性最大。

　　【例题解析】本例中样本空间的样本点为产品，具有不同的分类方式。分类方式1：正品和次品。分类方式2：来自甲厂、来自乙厂和来自丙厂。现在的问题关心的是第一种分类方式的某个结果，即次品，那么可以按照第2种分类方式对样本空间进行划分。

　　解：设B1＝｛该产品由甲厂生产｝，B2＝｛该产品由乙厂生产｝，B3＝｛该产品由丙厂生产｝；A＝｛该产品为次品｝。

　　则B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分，且：

　　P（B1）＝0.45 P（A｜B1）＝0.02

　　P（B2）＝0.35 P（A｜B2）＝0.03

　　P（B3）＝0.20 P（A｜B3）＝0.05

　　（1）由全概率公式，得：

　　P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.45×0.02＋0.35×0.03＋0.2×0.05＝0.0295

　　（2）由逆概率公式，得：

　　P（B1｜A）＝

　　P（B2｜A）＝

　　P（B3｜A）＝

　　答：该次品来自第2个车间的可能性最大。

　　例4，甲、乙、丙三门大炮同时向一艘战舰射击，三炮击中的概率分别为0.6、0.5、0.7。战舰被击中一炮而沉没的概率为0.4，被击中两炮而沉没的概率为0.6，被击中三炮而沉没的概率为0.9。（1）求战舰被击沉的概率；（2）已知战舰被击沉，求它被击中一次的概率。

　　【例题解析】本例中样本空间也可以按照不同方式进行分类的具有不同的分类方式。分类方式1：按照被击中的次数分为击中0次、击中1次、击中2次和击中3次。分类方式2：按照是否击沉分为击沉和没有击沉。现在的问题关心的是第2种分类方式的某个结果，即击沉，那么可以按照第1种分类方式对样本空间进行划分。

　　解：设B0＝｛战舰被击中0次｝，B1＝｛战舰被击中1次｝，B2＝｛战舰被击中2次｝，B3＝｛战舰被击中3次｝；A＝｛战舰被击沉｝。

　　则B0、B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分（为了方便计算B0、B1、B2、B3发生的概率，需要定义另外一组事件）。

　　设Ci＝｛第i门大炮击中战舰｝，i＝1，2，3。则：

　　P（B0）＝P（ ）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝0.4×0.5×0.3＝0.06

　　P（B1）＝P（ ）＝0.6×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＝0.29

　　P（B2）＝P（ ）＝0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＝0.44

　　P（B3）＝P（C1C2C3）＝P（C1）P（C2）P（C3）＝0.6×0.5×0.7＝0.21

　　（1）由全概率公式，得：

　　P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.06×0＋0.29×0.4＋0.44×0.6＋0.21×0.9＝0.569

　　（2）由逆概率公式，得：

　　P（B1｜A）＝

　　注：对某些题目，依据原理1或原理2都可以进行求解，可以根据自己的偏好进行选择。

　　三 结语

　　对样本空间进行合理划分是使用全概率公式和逆概率公式的前提。本文给出了对样本空间进行划分的两个原理，并通过实例验证了所给方法的可行性。

　　参考文献

　　［1］周圣武.概率论与数理统计［M］.北京：煤炭工业出版社，2007

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