英国著名物理学家牛顿说过：没有大胆而放肆的猜想，就不可能有伟大的发现. 数学教育家G·波利亚也指出：要成为一个好的数学家，必须首先是一个好的猜想家. 这两句至理名言道出了猜想的重要性. 可是仅有猜想的大胆并不能确保问题的圆满解决，还需要我们深入问题、小心求证，下面我们结合典型考题给同学们作一些讲解.

　　在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M.

　　（1）如图1所示，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FMMH.

　　（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，试猜想FMH的形状，并说明理由.

　　（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，FMH的形状又如何呢？（不必说明理由）

　　思路探究

　　（1）易得FBM≌MDH，有FM=MH，再分析出∠FMH=90°，问题获证.

　　（2）这个小问由（1）问递进生成，由（1）中的证明，我们感受到FMH是一个等腰直角三角形，经过旋转变换后的FMH形状如何？我们可以大胆地猜想仍然是一个等腰直角三角形，于是证明的关键是FM=MH，FMMH. 选择连结BM，MD，设法证明FBM≌MDH能获得问题的突破.

　　（3）在（2）问上继续演变生成图3中的FMH，仍然大胆猜想是一个等腰直角三角形，证明的关键同（2），从特殊到一般，类比问题（2）的证法，可利用中位线定理，证明两个三角形全等.

　　证明 （1）因为四边形BCGF和CDHN都是正方形，又因为点N与点G重合，点M与点C重合，所以FB=BM=MG=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90°. 所以FBM≌MDH. 所以FM=MH. 因为∠FMB=∠DMH=45°，所以∠FMH=90°. 所以FMMH.

　　（2）FMH是等腰直角三角形，理由如下. 连结MB，MD，如图2，设FM与AC交于点P，因为B，D，M分别是AC，CE，AE的中点，所以MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，∠FMD=∠APM. 所以四边形BCDM是平行四边形. 所以∠CBM=∠CDM.

　　又因为∠FBP=∠HDC，所以∠FBM=∠MDH. 所以FBM≌ MDH.所以FM=MH，且∠MFB=∠HMD. 所以∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°.

　　所以FMH是等腰直角三角形.

　　（3）FMH是等腰直角三角形，理由如下. 如图4所示，连结MB，MD，设FM与AC交于点P. 因为B，D，M分别是AC，CE，AE的中点，所以MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH. 所以四边形BCDM是平行四边形.

　　所以∠CBM=∠CDM，∠FMD=∠APM.

　　又因为∠FBP=∠HDC，所以∠FBM=∠MDH.

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