隔板法 众所周知,把N个相同的元素分成
作者:admin 发布时间:2023-10-15 07:22:18 分类:指南 浏览:118
众所周知,把N个相同的元素分成n(n≤N)份,每份至少一个元素,常用隔板法,其方法是在N个相同元素所形成的N-1个空档中间插入n-1个隔板,共有Cn-1N-1种情况.其方法数Cn-1N-1等价于线性不定方程x1+x2+x3+…+xn=N(xi≥1,i=1,2,…,n;n≤N)的正整数解的个数Cn-1N-1,但由于受“xi≥1”的限制,在具体解题中隔板法往往不能得到很好的应用.笔者在处理此类问题时,发现了一个非常适用的好方法,使得隔板法的应用更灵活更方便.本文特列举几例说明如下.
【例1】 10个相同的小球放入3个不同的盒子里,每个盒子不空,共有多少种不同放法?
分析:此题是隔板法的最典型例题,可直接用隔板法.
解法1:把10个球分成3份,每份至少1个球,在10个相同的小球中间有9个空档,插入两块隔板,共有C29不同的放法.
解法2:设放入第i(i=1,2,3)个盒子的球的个数为xi,则x1+x2+x3=10(xi≥1,i=1,2,3).
此不定方程解的个数为C29=36,即为此题的方法数.
【例2】 把20个相同的球全部装入编号分别为1、2、3的三个盒子中,要求每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数,问有多少种不同的装法?
分析:此题要求每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数,比例1难多了,不可直接用隔板法,此例说明隔板法并不具一般性.常见解法为解法1,其思维突破口是:先在1、2、3号盒中分别放进0、1、2个球,然后再分,此法有一定的思维要求,不太容易想到.其实在实际解题时,有不少学生会有如下思维:先在1、2、3号盒中分别放进1、2、3个球,再分剩下的14个球,其答案为C213=78是错误的.但如能充分利用隔板法与不定方程之间的等价性,则可得解法2,此解法更具一般性,使隔板法的应用更灵活更方便.
解法1:先在1、2、3号盒中分别放进0、1、2个球,再把剩下的17个球分成3份,每份至少1个球,在17个球中间有16个空档,插入两块隔板,共有C216=120种不同的装法.
解法2:设放入第i(i=1,2,3)个盒子的球的个数为xi,则x1+x2+x3=20(x1≥1,x2≥2,x3≥3)①,此不定方程解的个数即为此题的方法数,但方程①的解的个数不可直接求,可设y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-2,则可得新的不定方程y1+y2+y3=17(y1≥1,y2≥1,y3≥1),此不定方程①解的个数为C216=120,等价于方程的解的个数,所以此题的方法数为C216=120.
【例3】 将k个相同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中,每个盒子可以放任意多个球,也可以是空的,共有多少种不同放法?
分析:因为允许有些盒子不放球,其常见解法有两种:解法1对空盒子的个数进行分类讨论;解法2就很难想到了,把4个盒子也看作4个相同的球,思维能力要求极高.但如能充分利用隔板法与不定方程之间的等价性,则可得解法3.
解法1:如有零个盒子空,有C3k-1种放法;如有一个盒子空,有C14C2k-1种放法;如有两个盒子空,有C24C1k-1种放法;如有三个盒子空,有C34种放法.共有C3k-1+C14C2k-1+C24C1k-1+C34=C3k+3
种放法.
解法2:k个球可放进1个盒子或2个、3个、4个盒子,有些盒子可以是空的,直接用隔板法是不行的,因为隔板法只适用于每份至少一个球的情形,把4个盒子也看作4个相同的球,则共有k+4个球,然后再把它们分成4份,每份至少一个球,则不同的放法有C3k+3种.
解法3:设放入第i(i=1,2,3,4)个盒子的球的个数为xi,则x1+x2+x3+x4=k(xi≥0,i=1,2,3,4)②,此不定方程解的个数即为此题的方法数,但方程②的解的个数不可直接求,可设y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1,y4=x4+1,则可得新的不定方程y1+y2+y3+y4=k+4(yi≥1,i=1,2,3,4),此不定方程解的个数为C3k+3,等价于方程①的解的个数,所以此题的方法数为C3k+3.
【例4】 (a+b+c)8的展开式共有多少项?
分析:此题是三项式问题,可转化为二项式问题求解,可得解法1.但实际上,此题也可用隔板法求解,可得解法2.
解法1:(a+b+c)8=[a+(b+c)]8=a8+C18a7(b+c)+…(b+c)8.
在a8中有1项;在C18a7(b+c)的展开式中有2项;…在Cr8a8-r(b+c)r的展开式中有r+1项;…在(b+c)8展开式中有9项,所以(a+b+c)8的展开式共有1+2+3+…+9=45项.
解法2:设(a+b+c)8的某个展开式中含x1个a,x2个b,x3个c,则x1+x2+x3=8(xi≥0,i=1,2,3)③.设y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1,则可得新的不定方程y1+y2+y3=11(y1≥1,y2≥1,y3≥1),此不定方程解的个数C210=45为,等价于方程③的解的个数,所以(a+b+c)8的展开式共有C210=45项.
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