区间套定理 【摘要】闭区间套定理是实分析中
作者:admin 发布时间:2023-10-31 16:51:03 分类:资讯 浏览:133
【摘要】闭区间套定理是实分析中的一个重要定理,它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、单调有界定理、柯西收敛准则一样都反映了实数的完备性,本文对闭区间套定理的条件借助闭区间套定理有良好的构造性,因而使闭区间套定理有了更进一步广泛的应用.
【关键词】闭区间套定理;条件;等价命题;二等分法
引言闭区间套定理本身是由一个闭区间套{In}确定的唯一的点ξ∈∩∞1n=1In.粗略地说,如果一切In都具有某种共同性质P,则由于ξ的任意性有In(n≥k),所以ξ的局部具有性质P,简单地说这个定理可以把整体性质收缩到局部——某点的邻域,利用闭区间套定理证明问题时要注意这一点.闭区间套定理的几何意义:有一列闭线段(两个端点也属于此线段)后者被包含在前者之中,并且由这些闭线段的长构成的数列以0为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点.
一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理
定义1设闭区间列{(an,bn)}具有如下的性质:①{(an,bn)}[an+1,bn+1],n=1,2, …;
②lim(bn-an)=0,则称{(an,bn)}为闭区间套,或简称区间套.
定理(1)(闭区间套定理)若{(an,bn)}是一个区间套,则在实数系中存在唯一点ξ,使得ξ∈(an,bn),n=1,2, …,即an≤ξ≤bn,n=1,2, …,且limn∞an=limn∞bn=ξ.
闭区间套定理成立的条件:一般来说将闭区间换成开区间列,区间套不一定成立.
例如,开区间列0,11n显然满足:1)(0,1)0,112…0,11n…;2)limn∞11n-0=0,但是不存在数l属于任意一个开区间.
二、举例说明闭区间套定理的应用
1.与闭区间套定理等价的五个定理
①聚点定理:实轴上任意有界无限点集S至少有一个聚点.
②有限覆盖定理:设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].
③确界原理:设S为非空数集,若S有上(下)界,则有S上(下)确界.
④单调有界定理:在实数系中,有界的单调数列必有极限.
⑤柯西收敛准则:数列{an}收敛的充要条件是:对任给的ε>0,存在正整数N,使得当m,n>N有an-am
2.利用闭区间套定理证明以上五个定理中的两个定理
(1)用闭区间套定理证明聚点定理
证明S为有界点集,故存在M>0,使得S[-M,M],记[a1,b1]=[-M,M].
现将[a1,b1]等分为两个区间.因S为无限点集,故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此子区间,为[a2,b2],则[a1,b1][a2,b2]且 b2-a2=112(b1-a1)=M.
将[a2,b2]等分为两个区间.则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点,取出这样的一个子区间,记为[a3,b3],则[a2,b2][a3,b3],且b3-a3=112(b2-a2)=112M.
将此等分子区间的连续无限地进行下去,得到一个闭区间列{(an,bn)},满足{[an,bn]}[an+1,bn+1],n=1,2,…,bn-an=M12n-1(n∞).即{(an,bn)}是闭区间套,且其中每一个区间都含有S中无穷多个点.由闭区间套定理,存在唯一的一点ξ∈(an,bn),对任给的ε>0,存在N>0,当n>N时有an,bn∨(ξ,ε),从而∨ξ,ε内含有S中无穷多个点,ξ为S的一个聚点.
(2)用闭区间套定理证明柯西收敛准则的充分性
证明对ε>0,N>0,使得m,n≥N时,有am-an≤ε.取m=N,又对任给的ε>0,当N>0,使得对n≥N,有am-an≤ε,即在区间 aN-ε,aN+ε内含有{an}中几乎所有的项.令ε=112,则存在N1,在区间[aN-112,aN+1+112]内含有{an}中几乎所有的项.记该区间为a1,b1.再令ε=1122,则存在N2(>N1),在区间[aN-112,aN1+1122] 内含有{an}中几乎所有的项
记该区间为[a2,b2]=[aN1-1122,aN1+1122]∩[a1,b1],也含有{an}中几乎所有的项,且满足a1,b1[a2,b2]及b2-a2≤112.依次继续令ε=1123,…,112n,得一闭区间{(an,bn)},其中每个区间都含有{an}中几乎所有的项,且满足:[an,bn][an+1,bn+1],n=1,2,…;bn-an≤112n-10(n∞),即{(an,bn)}是闭区间套.由闭区间套定理,存在唯一一点ξ∈[an,bn],(n=1,2,…).
三、应用闭区间套定理时注意的问题
一般来说,证明某定理时需要找到具有某种性质的p的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来.怎样应用闭区间套定理呢?首先构造一个具有性质p*的闭区间,性质p*要根据性质p来定;其次通常采用二等分法将此闭区间二等分,至少有一个闭区间具有性质p*,然后继续使用二等分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质p*的闭区间列.虽然二等分法在证明与闭区间套定理有关的题时很常用,但对于闭区间的构造方法有多种,并不一定要用二等分法,所以我们在构造闭区间列时要视具体情况而定,不能一味地运用二等分法.
【参考文献】
\[1\]华东师范大学数学系.数学分析(上)\[M\].北京:高等教育出版社,1991:161-171.
\[2\]周明.用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的性质\[J\].西安工程学院学报,1998(20).
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