矩阵求逆 摘要:矩阵求逆是高等代数中很重
作者:admin 发布时间:2023-10-29 14:18:54 分类:科学 浏览:75
摘 要: 矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一,本文介绍了矩阵求逆的几种方法。
关键词: 逆矩阵 初等变换 伴随矩阵 级数 特征多项式
1.定义法
定义:设A为n阶矩阵,如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的,称B是A的逆矩阵。
例1:求矩阵A=2231-10-121的逆矩阵。
解:因为|A|≠0,所以A存在。
2.公式法
定理1:n阶矩阵可逆的充要条件是|A|≠0,而且当n(≥2)阶矩阵A为可逆矩阵时,A=A,其中A为矩阵A的伴随矩阵。
用公式法求逆,当阶数较高时,计算量很大,所以该方法主要用于理论推导。
3.初等变换法
设n阶矩阵A,作n×2n矩阵,然后对此矩阵施以初等行变换,若把子块A变为I,则子块I将变为A,即初等行变换[I,A]。
4.Gauss-Jordan(高斯―约当)法
由定义AA=I,设Y=AX(Y,X均为n维向量),则X=AY。若将Y=AX改写成X=BY,则A=B。具体方法如下:写出Y=AX的矩阵形式yy...y=aa…aaa…a…………aa…axx...x,
由矩阵乘法写成方程形式y=ax+ax+…+axy=ax+ax+…+ax……………y=ax+ax+…+ax,
经消元后将上式转化为如下形式:
y=bx+bx+…+bxy=bx+bx+…+bx……………y=bx+bx+…+bx,
即X=BY,所以A=B。
5.广义的行列初等变换法
此方法可将阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆,使计算简化。
例4:设r+s阶矩阵A=BDOC,其中B,C是r,s阶可逆矩阵,则A=B-BDCOC。
证明:(I)用广义的初等行变换。
[A,In]=BDI00C0I初等变换IO-B-BDCOIOC
由此得证。
(II)用广义的初等列变换法。
AI=BDOCIOOI初等变换 IDCOIBOOC初等变换 IOOIB-BDCOC,
由此得证。
6.和化积法
有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵,此时可将A+B直接化为(A+B)C=I,由此有A+B非奇异,且(A+B)=C;或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积,并可得其逆矩阵。
例5:证明:若A=0,则I-A是非奇异的,并求(I-A)。
证明:(I-A)(I+A+A+…+A)=I
(I-A)是非奇异的,
且(I-A)=I+A+A+…+A。
例6:设A为n阶矩阵,且满足2A-3A+5I=0,证明A是可逆矩阵,并求A。
证明:2A-3A+5I=0
2A-3A=-5I
-A+A=I
A(-A+I)=I
A可逆,且A=-A+I。
7.利用多项式法
例7:已知n阶可逆矩阵的特征多项式是f(λ)=|λI-A|=a-iλ,求A。
解:由A可逆可得A的特征多项式是f(λ)的常数项a≠0,并由哈密特―凯莱定理知f(A)=0,即aA+…+aA+aI=0,故A(-(aA+…+aI))=I,于是A=-(aA+…+aI)。当已知可逆的特征多项式时,利用以上方法很容易找到A。
8.矩阵函数的级数展开法
例8:设矩阵B的特征根的绝对值小于1,且A=I+B,则A的逆矩阵存在,且A=I-B+B+B-B…
证明:因I与B可逆,令S=I-B+B+B+…+(-1)B,于是S是与A之积等于1+(-1)B。
所以SA(1+(-1)B)=I,由于可逆矩阵的逆存在唯一性,可知A=S。
参考文献:
[1]殷宗山.河北工程技术高等专科学校学报,1995.1.2.
[2]李桂荣.德州高等专科学校学报,2000.16.4.
[3]龚爱玲.天津理工学院学报,1995.9.3.
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