分部积分法 分部积分法是一种重要的积分方法
作者:admin 发布时间:2023-10-18 09:51:48 分类:妙招 浏览:103
分部积分法是一种重要的积分方法,尽管该公式形式上简洁:∫udv=uv-∫vdu,但是学生们在学习(或复习)时,对其使用并不熟练,特别是需要专升本的成人考生,解题的技巧表现得更生硬。下面谈一下分部积分法的使用要点与技巧。
一、使用分部积分法的基本条件
当被积函数是多项式(或幂)、指数、对数、三角及反三角这几类初等函数中的某两类函数乘积形式时,应使用分部积分法,如∫x?arctanx?dx、
显然,经过分部积分后所得的新积分式比原积分式复杂了,这种做法不正确。
在分部积分中,我们确定u有以下的优先规律:
对数函数、反三角函数 多项式(或幂)函数 指数函数与三角函数(主要指sinkx和coskx)
具体地说,我们是按照以下步骤确定u的:
(1)先看被积函数中是否含有对数函数、反三角函数中的一种,若有的话就确定做u。(须指出:在我们现行的高等数学课本上,关于计算积分题目中的被积函数,不可能是“对数函数×反三角函数”的形式。)
(2)如果被积函数中不含有上述两种函数中的一种,再看有没有多项式函数(或幂函数),若有的话确定为u。
(3)如果被积函数中未含有上述三种函数,那么,一定是指数函数与三角函数乘积的形式(若不然,没必要使用分部积分法!)。这时,指数函数和三角函数都可以确定为u。
三、计算分部积分时的几种可能情景
那些相对简单点的题目,经过使用一次分部积分即可解决问题。如:
∫xcosx?dx=∫x?d(sinx)=xsinx-∫sinx?dx=xsinx+cosx+C。
可是,更多的题目仅使用一次是不够的,往往需要使用两次或多次的分部积分,甚至还需配合其它手法才能解决问题。一般可有以下几种情景:
1. 多次使用分部积分
2. 解一个关于原积分式的方程。
如果被积函数是指数函数与三角函数(sinkx或coskx)的乘积形式,那么计算该题需要两次分部积分,并且经过两次分部积分后会得到一个关于原积分式的方程。这时只需解这个方程即可。须强调的是,第二次分部积分时选取的u要与第一次选取的u为同一类函数。
四、定积分的分部积分计算
定积分的分部积分计算公式与不定积分相比多了上下限。上面看到:用分部积分法计算不定积分时,有的需要多次使用分部积分,也有时须解一个关于原积分式的方程等。当带上上、下限时,在解题过程的书写上显得很麻烦。笔者建议在计算定积分时先计算与这个题相应的不定积分,当得出一个原函数以后再代入上下限,以减少做题过程的书写量,还可避免因为漏写上下限而造成无谓的错误。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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