针对大型空间索网结构分析中的首要问题——索网结构的找形分析，本文基于文献[1]提出的四节点等参曲线索单元模型理论，编制了相应程序进行了实际结构找形分析计算；并对经典的找形分析方法——动力松弛法提出改进措施，同样编制了相应程序进行了实例计算。两种方法都和大型通用有限元分析软件ANSYS计算结果进行对比，证明了理论的正确性，为把这两种方法推广到索网结构的静力和动力分析做好了准备。

　　关键词：索网结构，找形分析，四节点等参元，动力松弛法

　　中图分类号： TU3 文献标识码： A 文章编号：

　　近年来随着社会经济的发展，索网结构作为一种美观、经济、实用的结构形式得到了广泛的应用。与普通的混凝土结构相比，索网结构没有初始刚度，结构需要通过预张拉实现其初始刚度的建立，从而承受外荷载作用。在边界约束条件和结构几何条件确定的前提下，确定一个和结构预应力条件相适应的几何构形，就构成了空间柔性结构中的初始平衡问题，即初始形态分析问题或称为找形分析问题[2]。

　　利用四节点等参曲线索单元模型理论进行找形分析

　　现今索网结构找形分析方法主要集中在有限元方法上。各种有限元方法的主要区别在于其单元类型的不同，有二节点直杆单元、三节点等参元以及五节点等参元等[3][4][5]。文献[1]中提出了一种新型的单元类型：四节点等参曲线索单元模型，并推导了该模型比较完整的相关理论，采用该单元模型可以取得计算精确度和计算代价两者较好的平衡。

　　1.1 四节点等参曲线索单元模型理论

　　这里给出该理论的要点，详细的理论推导过程可以参见文献[1]：

　　理论推导基于如下假定：

　　⑴ 索始终处于弹性工作阶段，应力应变关系符合虎克定律；

　　⑵ 索是理想柔性的，只能承受拉力，不能承受压力和弯矩；

　　⑶ 大位移小应变假定；

　　依照上述假定进行公式推导，可以得到轴向应变的表达式为：,其中，，。

　　应力表达式为,其中为索单元的轴向应力；为索材料的弹性模量；为索单元的轴向应变；为索单元的初始轴向应力。

　　根据虚功原理可推得全量形式的单元平衡方程，然后将全量形式的单元平衡方程进行微分，得到增量形式的微分方程： 。其中，为单元的切线刚度矩阵，的具体表达式：

　　1.2 四节点等参曲线索单元模型理论找形分析

　　利用四节点等参元模型理论进行索网结构找形分析是一个典型的有限元分析过程，所以具体的计算步骤应遵循传统的有限元分析步骤。这些步骤简而言之就是划分单元、确定加载步然后在每一加载步下循环直到位移值满足精度要求为止。需要强调的是找形分析时结构的初始状态是零状态，求解结果是结构找形完成时的状态，结构外荷载则是边界点的位移值，分步加载就相当于分步移动边界节点到指定位置，这是找形分析和其他索网分析过程例如静力分析的不同点。

　　利用动力松弛法进行找形分析

　　对于柔性结构的形状确定，动力松弛法最大的优点是能够由任意初始非平衡状态得到平衡状态，并且与其他方法如非线性有限元法相比，该方法不需要组装单元刚度矩阵，计算简单，容易取得较好的稳定性和收敛性，因此动力松弛法相对而言具有其自身的优势，适合于索网结构的找形分析。

　　2.1 动力松弛法基本公式推导

　　根据牛顿第二运动定律，时刻节点在方向的运动可以表示为：，用中心差分法表示该式为：，则时刻节点在方向的坐标改变为：，同理可得到节点在方向的速度分量和坐标改变。

　　根据当前结构几何位置可以求得任意索段的内力：其中，，分别为索段初始状态内力、弹性刚度和长度。

　　根据上述求得的索段内力，可以求得新的节点不平衡力如下：

　　其中求和符号表示对汇交于节点的所有连杆求和，与节点相连的连杆的另一端为，连杆内力为，为杆长。表示作用于节点的方向外荷载。

　　根据新的节点不平衡力可求得新的速度分量及新的结构坐标，迭代过程如此继续。

　　在此过程中，按照下式计算结构的动能：。当结构的动能达到极大值时，所有的速度分量被设置为零，运动从更新了的当前几何位置重新开始运动，如此反复直到结构的动能和节点不平衡力足够小为止，此时认为结构已经达到我们期望的平衡位置，找形过程结束。

　　2.2 保证动力松弛法收敛的改进措施

　　在上述动力松弛法公式中，时间增量、节点质量、节点速度和节点坐标等都可以不是真正物理意义上的量值，通常被称作虚量。我们可以从数值计算的角度，并从稳定性、收敛性和精确性三个方面来研究动力松弛法参数的选取。

　　① 关于时间增量

　　通常的做法是为了简化计算，将取为1，代入节点速度公式可得，继续求得新的结构坐标，这样迭代继续进行。

　　但是我们可以把取为更小的值，即将1s分成若干等份，比如5份或者10份进行计算，这样就更细致的追踪了每个从动能极值点到动能为零的过程的运动，结构几何位形的变化更慢，这就相当于对结构加载更缓慢，从而使迭代更容易收敛。在实际索网的计算中，我们取，就取得了良好的收敛效果。

　　② 关于节点质量

　　M.Barnes给出了保证解收敛的条件［6］，即时间增量和质量、刚度之间的关系应符合： ，其中是节点在方向的刚度。

　　将取为，则由上式可得：。实际计算中取。

　　上式中是节点的最大可能刚度，如果体系中所有索段的内力均为定值，节点最大可能刚度为：，其中为索段当前时刻的长度。

　　上面曾经提到过节点质量也是一个虚量，所以为了保证动力松弛法迭代收敛，可以采取如下措施：迭代过程中计算位移解向量差值的分量绝对值的最大值（即无穷范数）的比值，即： ，如果，则取，这样做相当于增大节点质量，结构在同样荷载作用下位移缓慢，从而使结构计算有更好的收敛性。

　　算例

　　根据上述方法，本文利用FORTRAN95编制程序[7]对以下两个算例进行了计算，并将计算结果和大型通用有限元分析软件ANSYS计算结果进行比较[8]。本文表中仅仅列出索网左上方部分内部节点的找形分析值，由于结构具有对称性，未列出的部分按对称取值。

　　例1设有一个支撑在刚性边界上的菱形索网，几何尺寸为的方格，各节点编号如图1所示，各索段拉伸刚度均为。进行索网结构找形分析，、、和为刚性边界，其他为内部索段。初始平面位置各索的预拉力。控制找形结束以后边界节点1、10、17、22、25在方向坐标分别为、、、、，其余边界点找形结束以后方向坐标按对称取值。

　　图1 菱形索网

　　内部节点找形后方向坐标值如表1所示：

　　表1 菱形索网四节点等参元理论找形结果、动力松弛法找形结果及与ANSYS找形结果的比较

　　结语与展望

　　本文具体分析并应用了两种索网结构的找形分析方法，从中不难看出这两种方法各有其自身的优势。四节点等参曲线索单元模型理论有利于编制通用的计算程序，找形分析以后可以在同一个程序内继续进行索网结构的静力分析、动力分析等，这为索网结构的静力分析和动力分析提供了基础，从而有利于编制索网结构的全过程分析程序，同时四节点等参元模型也为编制索网结构分析软件提供了一种新的单元选择思路。动力松弛法则是一种经典的柔性结构找形分析方法，目前该理论已经比较成熟。因此动力松弛法相对而言具有其自身的优势。本文提出的对动力松弛法的改进措施可以保证找形分析计算的稳定性、收敛性和精确性，从而有效的改进了这种经典的找形分析方法。从本文计算结果可以看出两种方法都达到了相当的精确度，我们可以根据不同的情况采用具体分析方法，也可以用两种分析方法对比印证来保证分析的正确性。

　　参考文献：

　　[1] 武建华，苏文章.四节点索单元的悬索结构非线性有限元分析[J].重庆建筑大学学报，2005，27(6)：55-58.

　　[2] 沈世钊.悬索结构设计[M].中国建筑工业出版社，1997.

　　[3] 唐建民.柔性结构非线性分析的杆单元有限元法.中南工学院学报，1996,10(1):50-55

　　[4] 唐建民，何署廷.悬索结构非线性有限元分析[J].河海大学学报，1998，26(6)：45-49.

　　[5] 唐建民，董明，钱若军.张拉结构非线性分析的五节点等参单元[J].计算力学学报，1997，4(1)：108-113.

　　[6] M.R.Barnes. Form-finding, analysis and patterning of tension structures [J]. The 3rd Int. Conf. Space Structures,1984:730-736.

　　[7] 彭国伦.FORTRAN95程序设计[M].中国电力出版社，2002.

　　[8] 张胜民.基于有限元软件ANSYS7.0的结构分析[M].清华大学出版社,2003.

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