摘要:傅科摆是法国物理学家傅科于1851年在巴黎发明的一种摆,利用摆的运动现象首次用实验证实了地球的自转。本文对傅科摆在水平面内的相对运动轨迹作了综合性的定性分析,并根据傅科摆确定的起始条件,画出其相对运动轨迹曲线。

　　Abstract: The Foucaultpendulum was one kind of pendulum which French physicist Foucault leon invented in 1851 in Paris, using the movement phenomenon of pendulum confirm Earth's rotation with the experiment to for the first time. This article has made the comprehensive qualitative analysis to relative motion path of the Foucault pendulum in horizontal plane, and according to determined original conditions ofthe Foucault pendulum, and draws its relative motion path curve.

　　关键词:傅科;傅科摆;运行轨迹

　　Key words: Foucault;Foucaultpendulum;motion track

　　中图分类号:TH11文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)31-0148-03

　　0引言

　　地球是一个略扁的球体,赤道半径平均为6378千米,极半径平均为6357千米。人们很早以前就猜想地球在自转,后来根据天文观察,更是确信了地球自转的事实,地球在绕太阳公转的同时,还在以它的自转轴为轴自西向东不停地自转着,地球自转一周是一昼夜。我们任意选择赤道上的一个点,当地球自转一周时,这个点就随之运行了一个以6378千米为半径的大圆圈,其圆周长约40054千米,折合成华里就是约八万里,“坐地日行八万里”的奥秘就在这里。

　　我们生活在地球上,但却根本感觉不到地球的自转运动。直到1851年,傅科才用实验证实了地球的自转。傅科(Foucault,Jeam Bernard Leon)是十九世纪中叶法国杰出的实验物理学家。1819年9月18日生于巴黎;1868年2月11日卒于巴黎。特别有意义的是,他只用了一个单摆装置就完成了这个实验,其设备之简单,设计之巧妙,现象之明显,结论之直观,真是绝妙之极,因此它成为了物理学史上最美丽的实验之一。现在人们把用于论证地球自转的这个摆称为傅科摆,该实验就是现在著名的“傅科摆实验”。

　　傅科摆的实验总共是在四个地方做的。1851年,在巴黎国葬院的大厅里,这是傅科在第三个地方做傅科摆实验。他用一根67m长的铁丝,悬挂28K重的铁球做成摆,摆锤的下方放有直径6米的沙盘和启动栓。摆的下端是一个尖头,正好从地板上掠过,每当摆锤经过沙盘上方的时候,摆锤上的尖头就会在沙盘上面留下运动的轨迹来。实验开始前,将铁球高高地拉向一侧,用绳子拴在墙上。采取一切办法使空气和教堂避免一切可能的振动,以免干扰这个巨摆的稳定摆动。当一切都平静后,就放火烧断拴摆的绳子。绳断了,摆开始了摆动,随着时间的推移,傅科设置的摆每经过一个周期的振荡(周期为16.5秒),在沙盘上画出的轨迹都会偏离原来的轨迹,准确地说,在这个直径6米的沙盘边缘,两个轨迹之间相差大约3毫米,每小时偏转11°20',它扭转的方向和速率正巧符合巴黎的纬度,即31小时47分扭转一周。傅科摆的摆动作为地球自转的有力证据,现已为世界所公认。

　　这个实验引起了极大反响。现在,巴黎国葬院中依然保留着150年前傅科摆实验所用的沙盘和标尺。不仅仅是在巴黎,在世界各地你都可以看到傅科摆的身影,例如,你可以在北京天文馆看到一个傅科摆的复制品。一个金属球在一根系在圆穹顶上的长长细线下来回摆动着。下面是一个刻着度数的像铁锅似的大圆盘,人们可以由此读取摆动平面旋转的度数。前去参观的人们都喜欢在这里停留一段时间,亲眼看一看地球是怎样自转的。在北京地区,约需37小时才转一圈。即傅科摆的摆动平面每6.2分钟顺时针转过1度,这已是很容易观察的了。

　　1傅科摆的原理

　　傅科根据地球自转的理论提出:除地球赤道以外的其他地方,单摆的振动面会发生旋转的现象。如果地球没有自转,则摆的振动面将保持不变;如果地球在不停地自转,则摆的振动面在地球上的人看来将发生转动。事实上,这是摆底下的地面在转动,因为对于一个自由摆动的摆来说,其摆动平面是不会发生移动的。

　　为什么傅科摆沿顺时针改变摆动方向说明了地球在沿逆时针方向自转呢?这是由单摆的物理特性得出的结论。从单摆的物理特性出发,给摆一个恰当的起始作用力,它就会一直沿着某一方向,或者说某一平面运动。如果摆的摆角小于5度的话,摆锤可以视为做一维运动的谐振子,把摆锤的运动看做一维谐振,如果它的运动方向与地轴平行,而地轴相对遥远的恒星是静止的,那么我们将观测不到傅科摆相对地面的转动。同样的道理,傅科摆摆动起来以后并不改变摆动方向,然而我们站在沿逆时针方向转动的地球上,看不到地球的转动,却看到傅科摆是在沿顺时针方向转动了一定的角度,不断地改变它的摆动方向。

　　摆处于北极,地球就会每24小时扭转一周。处于越往南边去的纬度,地球就似乎扭转得越慢,因为地球在北部区域里运行的速度比在南部区域里稍慢一些。越往南,则速度差越小,而在赤道上则完全不转动。由赤道往南,扭转就会重新开始,但方向相反,到了南极则又具有24小时的周期。对于观察摆的人来说,他本身也跟着地球运动,就显得好象摆是在缓慢地改变方向。

　　傅科摆的实验后来又在不同地点进行,发现摆的振动面的旋转周期随地点而异,其周期正比于单摆所处地点的纬度的正弦,在北极,摆处于地球轴心的正上方,纬度是90度,转动一周的时间是24小时。在赤道,纬度是零,摆动的平面根本不移动。在其他纬度,傅科效应大小不等,越靠近两极越明显。综合来说由于地球的自转,摆动平面的旋转方向,在北半球是顺时针的,在南半球是逆时针的。摆的旋转周期,在两极是24小时,在赤道上傅科摆不旋转。这就是著名的傅科摆实验,它是地球自转的最好证明。

　　2傅科摆的运行轨迹

　　作为质点在非惯性坐标系中运动的实例,傅科摆的问题被许多力学教材所用。它们对傅科摆在水平面内的相对运动轨迹都作了定性分析或数学推导,由于他们假定的初始条件不同,故结论也不同。本文对傅科摆在各种初始条件下,尤其是在水平面内的运动轨迹进行讨论,同时研究纬度对傅科摆运动轨迹的影响。

　　2.1 同一纬度,所有初始条件下摆的运动轨迹

　　2.1.1 在相同方向上改变初始速度与位移之比的情况由于x、y两个方向具有对称性,故只研究x方向的位移和速度。如图1所示,图中给出了x方向上初始速度与位移在不同比例下的计算机动态模拟运动。其中初始条件用向量[x坐标,x速度,y坐标,y速度]来表示。以下类同。

　　由图1可以看出,随着初始速度与位移的比值逐渐增大,轨迹形状发生了一定的变化,由左边的菊形线形状变为右边的多叶玫瑰线形状。具体地说,零摆幅时摆球的位置离平衡位置越来越近;由尖角逐渐过渡到圆角,这是由于摆幅最大时,垂直径向的速度不为零引起的。但摆动平面的摆动速度没有变化,可见摆动平面的运动与此比值无关。

　　2.1.2 在相互垂直方向上改变初始速度与位移之比的情况由于对称性,只研究x方向的位移和y方向的速度。图2给出了互为垂直的初始速度与位移在不同比例下的计算机动态模拟运动。

　　由图2可以看出,随着y方向速度与x方向位移的比值逐渐增大,轨迹形状经过了两次渐变。从图1的内旋轮线变为图2和图3的椭圆进动线,最后变为图4的菊形线。即先由尖角状变到近乎圆周运动,再变到花瓣状。每种变化之间都是逐渐单调变化的。具体地说,摆角为零时,离平衡位置先增大,到一个极限位置后,再逐渐减小,由尖角逐渐到圆环状,再过渡到花瓣状。这是由单摆向圆锥摆过渡,再向单摆过渡而导致的。但摆动平面的摆动速度没有变化,可见摆动平面的运动也与此比值无关。

　　2.1.3 小结综合图1和图2,可以得到摆在全部初始条件下的各种不同类型的运动轨迹:菊形线、多叶玫瑰线、椭圆进动线和内旋轮线。显然,摆在不同初始条件下的轨迹也一定不同,而对于世界各地的傅科摆来说,傅科摆的初始条件是唯一的,所以其轨迹也是确定的。

　　据记载,为了验证地球的自转,当年实验时先将摆拉离其平衡位置,摆幅最大,使其与地面处于相对静止状态,再用火烧断拉绳,摆就进入运动状态。因此,傅科摆的初始条件是x(0)=c(常数),y(0)=0,x(0)=0,y(0)=0,即y向速度与x向位移的比值为零,因此,傅科摆的相对运动轨迹是内旋轮线。

　　从以上讨论中可以发现,在同一纬度下,不同的初始条件对摆平面的转动速度没有影响,只对摆的轨迹有影响。

　　2.2 同一初始条件,不同纬度下摆的运动轨迹

　　2.2.1 在北半球,同一初始条件,不同纬度下摆的运动轨迹在北半球,让摆满足傅科摆的初始条件,即初始速度为零,摆幅最大,则其轨迹应为内旋轮线。下面改变纬度参数,用计算机动态模拟并绘制出摆的运动轨迹,如图3所示。

　　从图3可以看出,不同纬度下的傅科摆的运动轨迹都是内旋轮线。只是纬度越高,相同时间转过的角度越大,且离平衡中心距离也越大,这说明科氏力在水平面内的分量越大。赤道附近惯性力在水平面的分量基本上就为零了。从图中也可以直接看出在北半球,傅科摆是顺时针转动的。

　　2.2.2 同一初始条件,在北半球和南半球,不同纬度下摆的运动轨迹同样让摆满足傅科摆的初始条件,即初始速度为零,摆幅最大。则计算机动态模拟摆的运动轨迹如图4所示。

　　从图4可以看出,不同纬度下的傅科摆的运动轨迹也都是内旋轮线。在北半球,傅科摆是顺时针转动的,而在南半球是逆时针转动的。同一纬度下,摆的运动轨迹是完全相同的,不同的纬度(在这里也等价于不同的地球自转角频率ω),摆的运动轨迹也是完全相同的,也就是说,不同的纬度对摆的运动轨迹没有影响,只对摆平面的转动速度有影响。

　　很明显,傅科摆在赤道上的运动轨迹跟普通摆的轨迹一样,没有任何区别。

　　2.2.3 小结同一初始条件,即使不同纬度,摆的运动轨迹也是没有变化的,但摆平面的转动速度发生了变化。纬度越高,转动速度越快。在赤道上的傅科摆,其摆动面是不转动的,运动轨迹也不发生偏移。

　　3傅科摆的运动轨迹小结

　　由上面分析可知,影响傅科摆运动的主要因素是摆的初始条件和摆所处的纬度。摆的运动轨迹只由初始条件决定,而摆平面的转动速度只由纬度(或地球自转角频率ω)决定。

　　如果傅科摆在赤道上,则摆动面是不转动的,傅科摆运动轨迹不发生偏移。如果傅科摆不在赤道上,则摆平面发生转动,纬度值越大,摆动面的转动速度就越大,傅科摆运动轨迹的偏移就越明显。在北半球,傅科摆的运动向右偏移;在南半球,傅科摆的运动向左偏移。傅科摆的运动轨迹总结如下:①当初始态有一定摆幅和与摆幅共线的速度,但其速度较小时,摆的相对运动轨迹为菊形线;②当初始态有一定摆幅和与摆幅共线的速度,但其速度较大时,摆的相对运动轨迹为多叶玫瑰线;③当初始态有一定摆幅和与摆幅相垂直的速度,但其速度较小时,摆的相对运动轨迹是椭圆进动;④当初始态有一定摆幅和与摆幅相垂直的速度,但其速度较大时,摆的相对运动轨迹是菊形线;⑤当初始态有一定摆幅(包括摆幅最大),初速为零时,摆的相对运动轨迹是内旋轮线;⑥当初始态摆幅为零,但有一定初速度时,摆的相对运动轨迹是多叶玫瑰线。

　　4结束语

　　综上所述可知,菊形线、多叶玫瑰线、椭圆进动轨迹,是摆锤离开平衡位置,再以一定的初速度进入运动后的相对运动轨迹,其中多叶玫瑰线轨迹,还可以是摆锤从平衡位置以一定的初速度进入运动状态的相对运动轨迹。其共同特点是:摆锤摆至最大幅角时,摆的相对速度不为零,而有横向速度。而当初始态有一定摆幅(包括摆幅最大),初速为零时,摆的相对运动轨迹一定是内旋轮线。

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