笛沙 【摘要】本文简略地考虑一些射影
作者:admin 发布时间:2023-08-04 10:33:29 分类:妙招 浏览:131
【摘 要】本文简略地考虑一些射影性质的定理,即关于共点线,共线点的。我们讨论透视的图形的关系,建立笛沙格定理和它的逆定理及它们的各种应用。
【关键词】笛沙格定理
引言:
笛沙格定理是射影平面上的重要定理。许多定理以它为根据,利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题。笛沙格定理说明,若两三点形有透视中心,则必有透视轴。反之,若有透视轴则必有透视中心。
一、笛沙格正,逆定理
定义1 平面上不共线三点及每两点连的直线构成的图形称为三点形。
定义2 平面上不共点的三直线及每两直线的交线构成的图形称为三线性。
笛沙格正定理
若两三点形的对应顶点的连线共点,则其对应边的交点共线。
若两三点形中有对应顶点重合,或非对应顶点重合,定理显然成立。下面仅对两三点形的6个顶点都相异的情形作出证明。
设 与 的对应顶点连线 相交于一点 则对应边
与 , 与 , 与 的交点 共线。
证:如图1 对 及相应的截线 , 由梅涅劳斯定理得
三式相乘化简得
对 由梅涅劳斯定理逆定理知 共线。
图1
笛沙格逆定理
若两三点形的三对对应边交点共线,则其对应顶点的连线共点。
设三点形 与 的对应边交点 共线,证明: 交于一点。
证:如图2 考虑三点形 与 ,它们的对应顶点连线 交于 。由笛沙格定理,此两三点形的对应边交点 共线,即两三点形 与 的对应顶点连线交于一点。
图2
笛沙格定理及其逆定理都称为笛沙格定理,我们称图2中两三点形 与 成透视, 叫透视中心,对应边交点所在直线 叫透视轴。这样上面两定理也可以叙述成:
一对对应三点形(三线形)具有透视中心的充要条件是具有透视轴。
笛沙格定理的图形包含10个点,10条直线,其中有些点是容许重合的,它们成为笛沙格定理的特情形。一般情况下,每条直线上有三点,过每点有三条直线,这个图形叫作笛沙格构形。从这个构形中可以形成多对成透视的三点形。可以证明此图形中的10个点中的每一个都可作为某些点构成的三点形的透视中心。例如: 是三点形 与 的透视中心,相应的透视轴是 所在直线。
正逆定理的应用情况
定理1 设 是三角形 所在平面上的两点, 与 交于 , 与 交于 , 与 交于 ,则 交于一点 。
设 与 相交于 ,等等,则三角形 同样明显地成透视。而且可以证明 与 成透视,这三个透视中心共线。
定理2 设三个三角形有公共的透视中心,则它们的三条透视轴共点。
设三角形为 则 为共点的直线。我们将三角形的边用与所对顶点相同的小写字母表示。考虑边为 与 的三角形。它们的对应边相交于共线点 ,所以对应顶点的连线共点。但连结 的交点与 的交点的直线,是 与 的透视轴,等等。所以这三条轴共点。
二、正定理的应用
例1 如图3 设点 是不在三点形 三边上的点, 。则三点形 与 关于 成透视。
证:由笛沙格定理,它们的对应边交点 共线。
图3
运用到欧氏几何, 可以是三角形 的重心,垂心或外心等。它有一些有趣的特例:
如果 与 平行,那么另外两队边的交点 的连线也与它们平行,如果 与 平行, 与 平行,则 与 也平行。
例2 证明欧氏平面上三角形的重心,垂心与外心共线,所在直线叫三角形的 线。
证:如图4 设欧氏平面上三角形 的重心,垂心与外心分别是 ; 分别是三边 的中点。三点形 与 的对应边都平行,在拓广平面上它们的交点共线。由笛沙格定理,它们的对应顶点连线 交于一点,即三角形 的重心,垂心与外心共线。
图4
例3 在欧氏平面上, 的高线为 ,另外, 与 交于 , 与 交于 , 与 交于 。求证:三点 共线。并将此问题推广。
证:如图5 中三高线 共点 ,以 为透视心,由 和 ,根据笛沙格定理必有透视轴,即对应边 和 交于 , 与 交于 , 和 交于 。则三点 共线。
图5
此问题的推广:在 内, 三直线共点(不一定是高线),又 和 交于 , 和 交于 , 和 交于 。求证: 共线。
三、逆定理的应用
例1 设 为三条定直线, 为二定点,点 为 上的动点,且直线 分别与 交于点 。求证: 通过 上一个定点。
证:如图6 利用笛沙格定理在 上另取一点 ,按题意作出 。考察三点形 与 ,因为其具有透视中心 ,故其对应边的交点 三点共线,即 共点于 ,换句话说, 过 上的定点 。
图6
例2 设 是完全四点形 的对边三点形, 分别交 于 。求证: 共点。
证:考察三点形 与 ,
而 是共线的,由笛沙格逆定理可知 共点。
图7
例3 设 的顶点 分别在共点的三直线 上移动,且直线 和 分别通过定点 和 ,求证: 也通过 上一个定点。
证:如图8 设 是满足条件的另一个三角形, 和 中,由于对应点连线 共点 ,由笛沙格定理可知对应边交点 共线,即 与 的交点 必在 直线上,则 为定点。
图8
四、正逆定理的共同应用
例 设直线 交 三边 于 ,如果直线 两两相交成一三角形 ,求证: 共点。
证:如图9 利用笛沙格定理及逆定理。选三点形 和 ,因为 ,且 共线 ,所以此两个三点形之对应顶点连线 三线共点。
图9
参考文献:
[1] 近代欧氏几何学 [美] 约翰逊 上海教育出版社
[2] 高等几何 周兴和 科学出版社
[3] 高等几何 周建伟 高等教育出版社
- 上一篇:优秀护士演讲稿 5·12是国际护士节,又是汶川
- 下一篇:返回列表
相关推荐
- 迈腾烧机油 大众迈腾烧机油最简单的修复方法
- 韵达快递投诉电话24小时投诉电话 生活中使用韵达快递的时候会有一
- 韵达快递价格 韵达快递是中国一家民营快递品牌
- 万凤之王演员表 1、《万凰之王》是2011年香
- 李白登黄鹤楼的三首诗 李白黄鹤楼的诗有:《黄鹤楼送孟
- ill 简要回答ill是一个英语单词,
- 吴克烈 吴克烈的拼音怎么读吴克烈的拼音
- 新浪超新星 1、《超新星运动会第四季》是由
- 杨澜的婚姻 杨澜有两段婚史,现任老公是吴征
- exm 1、exm是打扰的意思。exm
- 倪安东资料 倪安东资料介绍:倪安东(Ant
- japanesemaincurrent 1、QCC空间是QQ空间物品C
- 李宁鞋码对照表 李宁鞋码对照表李宁的鞋子尺码几
- 张慧清简历 1、张慧清。2、女。3、曾任云
- 河北省导游考试网 1,全国导游证考试各省市考导游
- 椰子350 椰子350是阿迪达斯的运动鞋,
- 查询手机号码机主 随着通信时代的不断发展,要想联
- 小神童全自动洗衣机 1、插上小神童全自动洗衣机电源
- 清凉山公园 唐以前、还算可以的,长安历史文
- 洛克王国小甲壳虫 1、犄角甲虫。2、是洛克王国土
- 淘宝代付款 品牌型号:vivos9系统:O
- 嫡孙是什么意思 1、长子嫡孙所谓长子嫡孙,是嫡
- cobu3d 1、宝儿(BoA),1986年
- 狗不理包子 01狗不理包子铺原名“德聚号”
- 爱情三贱客 1、《爱情三贱客》是于2012
- 深圳交强险 我们买了车之后,就得买保险,不
- 海阔天空粤语歌词 1、歌词今天我寒夜里看雪飘过(
- 海豚式打腿 1、海豚式打腿是一种游泳姿势,
- 狮子狗落地秒 LOL中的狮子狗是一个很强力的
- 数码伴侣盒 数码伴侣盒其实就是一种专门使用
- 最新推荐
-
- 笛沙 【摘要】本文简略地考虑一些射影
- 我总是心太软 新学期刚开学不久,跟我一起配班
- 任贤齐 哭个痛快歌词
- 管维嘉 押韵的悲伤歌词
- 我不想这样一个人 篇一:我不想做这样的人
- 优秀护士演讲稿 5·12是国际护士节,又是汶川
- 绝配的一对歌词 拉 绝配的一对LRC歌词
- 旅途综合症 1、主动向乘务员反映有头昏、紧
- 台风莫拉克 说起台风,大家都熟悉,因为每年
- dell笔记本电脑型号 如今我们在学习和工作的过程中都
- 李俊旭 爱已化成灰歌词
- 周笔畅 爱好难歌词
- 苏宁广告 苏宁的广告语1
- 朋友网图标不见了 原因:
- 叶世荣 叶子红了歌词
- 蓝牙服务 1.使用组合快捷键win键+r
- 林志颖 是不是你歌词
- 嘉林 伤情歌词
- 2020国家专项计划招生计划 国家专项计划如何填报志愿
- 江流石不转,遗恨失吞吴(作者 出处)
- 北京喜讯传边寨 [摘要]管弦乐曲《北京喜讯传边
- 葬花吟歌词 葬花吟LRC歌词
- 梁咏琪 有时候歌词
- 回味无穷的近义词 【回味无穷的近义词】(以下词语
- 茶山情歌歌词 莹 茶山情歌LRC歌词
- 是羊大一点还是狗大一点 在脑筋急转弯中是狗比羊大一点,
- 印尼火山 火山是一种常见的地貌形态。地壳
- 荣格 荣格(CarlG.Jung,1
- 带牙套 戴牙套是牙齿矫正的常见的方法,
- 三郎 放手一搏歌词
- 湖南企业退休养老金 关于2015年湖南省企业退休人
- 孔雀鱼难产 1、喂食准备
- t1e6 坦克世界中的T1E6资料:
- 梦想世界名字 2、【徘徊往事ゝ】
- 关于读书的访谈录 地点家里
- 罗文裕 河岸留言歌词
- 地理教学论文 地理教学论文篇1
- 6个单韵母 6个单韵母是:a、o、e、i、
- 此时相望不相闻,愿逐月华流照君(作者 出处)
- 在这个不寻常的春天里 “风又绿江南岸”,小草从里钻出
- 29个世界无烟日 【第29个世界无烟日活动总结1
- 法术吸血 传说血统能法术吸血吗,传说血统
- 完美生活歌词
- pm2.5污染 PM2.5是地球大气成分中的组
- 烟草中能让人产生烟瘾的物质是 能让人产生烟瘾的物质是尼古丁。
- 庞麦郎 摩的大飚客歌词
- 今年打春是哪天2023几点打春 2023年立春是2023年2月
- 稻草人续写500字 田地里,一大片浓绿的稻子全不见
- 教师节班会活动方案 教师节的到来,怎么能少了教师节
- 台球杆品牌 一、Predator美洲豹
- 169 16-9可以看成10-9+6,
- 李翊君 萍聚歌词
- 多疑的 我是一个男孩,今年12岁,我的
- 大学生恋爱观论文 大学生恋爱观论文篇1
- qq限制解除 很多用户在使用QQ的时候存在的
- 汪东城 我们的剧本歌词
- 字幕文件怎么用 ass字幕文件怎么用下文将会演
- 七月与安生 小说 《七月与安生》是作家庆山安妮宝
- 甲苯 甲苯是一种常见的化工原料,用来
- 心中的太阳歌词 我心中的太阳歌词