已知方程组篇1

　　当给定ABC时，一定已有三类方程成立，由三内角和定理、正弦定理和余弦定理给出。由此可得三角形可解的条件，这些条件和三角形全等的条件相似（这是因为三角形全等的条件实质上就是可以唯一确定三角形的条件）。但是当题中的条件不是给出边和角，而是给出一个或多个边和角的方程时，要判断三角形的形状或求解三角形的某些元素，就必须用方程思想求解。由于在一个三角形中还知道三内角和为180°、正弦定理和余弦定理能列出的边角方程，把这些条件结合在一起就构成一个方程组，将题目变成一个解方程组的问题。因此，此类题目的实质就是解方程组，它是一个以边、角和三角函数为未知量的方程组。

　　解这样的方程组的思路类似于一般方程组的思路，就是消元和化简。解方程时主要从消元的角度来确定解题思路。解这类方程的一般思路是化归。由于这样的方程组中的元有三类：边、角和三角函数，因此消元策略一是分类消元，都化为边或都化为角，二是混合消元，把三内角和为180°、正弦定理和余弦定理代入已知得到未知量较少的方程，然后解出某些量。

　　1.把已知方程都化为边的方程

　　例1 （2009年全国卷Ⅰ）三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosA sinC，求b。

　　分析：题中条件用方程组表示就是，已知方程组求b。

　　由于求的是边，结合已知的正弦定理和余弦定理把第二个方程化为边的方程，这样已知条件化为边的方程，就是我们所熟悉的整式方程。对于第二个方程中的cosC，cosA有余弦定理可直接化为边，对于sinA，sinC，结合正弦定理可设――=――=――=―，则sinA=ka，sinC=kc代入第二个方程可得a2-c2=―，原方程组化为整式方程组

　　a2-c2=― ，解之得b=4。

　　a2-c3=2b

　　2.把已知方程都化为角的方程

　　例2（2009年全国卷Ⅱ）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（A-C）+cosB=―，b2=ac，求B。

　　分析：类似于例1，此题也是一个解方程组的问题。由于本题求的是角，由正弦定理设――=――=――=k ，则a=sinA，b=sinB，c=sinC，代入第二个方程，消去k可得sin2B=sinAsinC，题设条件化为已知三角方程组求B。

　　把③左边展开，然后把④代入得cosAcosC+sin2B+cosB=―。为了消去式中的cosAcosC，把B=π-（A+C）代入前式，展开可得2sin2B=―，解得 B=―或―。由于当 时B=―时，

　　cos（A-C）+cosB≤1-――

　　由前面两例可知，在三角形中把三角方程化为边的方程或角的方程的方法是把正弦和余弦定理代入。另外，在三角形中不是所有三角方程全能化成边的方程或角的方程，如ABC 中，若sinAcosC=3cosA，用上面方法就不能够化为边的方程。如果遇到这种情况解方程的方法是混合消元化简。

　　3.混合消元化简

　　前面的例1我们还可以这样解：由方程组①中的最后一个方程的形式，联想到正弦的和差化积公式，两边同加 sinAcosC可得sinA（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC，类似于例1由正弦定理可得b=4cosA。因此，我们可设想能不能把方程a2-c3=2b也化为关于b，c，cosA的方程。由余弦定理， b2+c2-a2=2bcosA，代入b2+c2-a2=2bcosA消去a2后得b-2=2cosA，方程组①化简为方程组 b-2=2cosA

　　b=4cosA ，解之得b=4。

　　在初中只学了二元一次方程组，到高中后我们不仅会见到二元二次方程组，而且还会有像上面的超越方程组，应该在二元一次方程组的基础上归纳常见的这样的方程的解法。一般像①这样的方程组是把A+B+C=π代入已知消角，减少角的个数，把正余弦定理代入已知，把已知都化为角的方程、边的方程、混合方程。

　　另外，平时解题时要注意深入分析产生增根的原因，强化检验意识。上文中的三角方程组产生增根的原因与常见的分式方程、根式方程产生增根的原因不同，学生容易忽视。因此，解决实际问题都要进行检验，强调检验是理论回到实践的过程。

　　已知方程组篇2

　　已知方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4， ，求方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解．

　　小明的解法如下：依据方程组解的定义，将x=3y=4 代入方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 得3a1+4b1=c1，3a2+4b2=c2. 将方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的两边同时除以5，得a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.将c1=3a1+4b1，c2=3a2+4b2代入方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2， 并整理得3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0.观察该方程组中两个方程的系数特点，不难发现，当x－1=0，y－2=0时，不论a1，b1，a2，b2取何值，方程组中的两个方程均成立． 因此x－1=0，y－2=0， 解得x=5，y=10.

　　表面上看，小明的解法似乎天衣无缝，而实际上，小明在由3a1x－1+2b1y－2=0①，3a2x－1+2b2y－2=0② 推出x－1=0，y－2=0 时，忽视了二元一次方程组有唯一解的条件．

　　事实上，由①×a2得3a1a2x－1+2a2b1y－2=0③，由②×a1得3a1a2?x－1+2a1b2y－2=0④． ③-④得2a2b1y－2－2a1b2y－2=0，即2y－2（a2b1－a1b2）=0⑤． 可以看出，只有当a2b1-a1b2≠0时，才有y－2=0，否则y－2可以取任何值． 那么是否一定有a2b1-a1b2≠0呢？回答是肯定的．

　　由方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4 可知该方程组有唯一一组解． 根据方程组有唯一一组解的条件可得a2b1-a1b2≠0． 同理，只有当a2b1-a1b2≠0时才有x－1=0． 所以由3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0 推出x－1=0，y－2=0 时，一定要交待a2b1-a1b2≠0这个隐含条件，否则解题就不严密． 不仅如此，由于小明没有很好地利用已知条件，因而解法也比较麻烦．

　　事实上，对比已知方程组和所求方程组的系数，可以发现，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5后可得0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2， 此方程组中的0.6x，0.4y分别相当于方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 中的x，y，因此有0.6x=3，0.4y=4， 即方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解是x=5，y=10.

　　实际上，在解方程组0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2 时，我们也可设0.6x=u，0.4y=v，这样原方程组可变形为a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2， 对比方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 与方程组a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2 的结构，我们发现，这两个方程组只是未知数的表达形式不同而已，未知数的系数和常数项都是相同的，这样的两个方程组的解一定相同，我们把它作为二元一次方程组的一个重要性质，即未知数的系数和常数项分别对应相等的两个二元一次方程组的解相同．

　　在解答类似于引例的数学问题时，我们要注意对比两个方程组的结构，运用二元一次方程组的重要性质进行解答．

　　已知方程组2a－3b=13，3a+5b=30.9 的解是a=8.3，b=1.2， 则方程组2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 的解是（ ）

　　A． x=8.3y=1.2 B． x=10.3y=2.2

　　C． x=6.3y=2.2 D． x=10.3y=0.2

　　对比两个方程组的结构，不妨设x+2=u，y-1=v，则方程组2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 可变形为2u－3v=13，3u+5v=30.9， 利用二元一次方程组的重要性质可得u=8.3，v=1.2， 即x+2=8.3，y－1=1.2， 解得x=6.3，y=2.2. 所以方程组2（x+2）－3（y-1）=13，3（x+2）+5（y-1）=30.9 的解是x=6.3，y=2.2. 答案为C．

　　如果方程组a1x+b1y=2，a2x+b2y=3 的解是x=10，y=15， 求方程组5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的解．

　　已知方程组篇3

　　本节是在二元一次方程组的基础上进一步探究其解法，让学生通过解二元一次方程组了解其关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，不论是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解；还是将两个方程相加消元，变成一元一次方程，从而求得原方程组的解，都是学生必须掌握的基本方法。二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，也是中考和竞赛的常见题目。

　　二、二元一次方程组解法的教材分析

　　（一）本节的主要内容

　　本节采用了两种教学方式进行讲解。一是在于灵活运用代入法，并且在求出一个未知数的值后，应将它代入到哪一个方程求另一个未知数的值比较简便；二是在于灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便。不论是哪种方法，学生们都要了解解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，把“未知”转化为“已知”。

　　（二）本节的教学要求

　　使学生会分析二元一次方程组中的两个方程，分析同一个未知数系数的关联，从而决定用哪种方法比较简便，再进行解答。

　　（三）二元一次方程组的解法

　　它的解法有很多种，但是常见的只有两种，即代入法和加减法。它们虽是两种不同的方法，但其目的相同---“消元”，都是把“二元”转化为“一元”，进而求解方程组。不同点是消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对于一个方程组用哪种消元方法解都是可以的，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法，对应不同的题目在解题时可采用不同的消元方法。

　　（1）代入法

　　用这种方法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元。选取的方法是：①选择未知数的系数是1或-1的方程；②若未知数的系数不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入到没有变形的方程中去。

　　（2）加减法

　　用这种方法求解关键是相加减哪个元。选取的方法是：①某个未知数系数的绝对值相等时，可直接加减消元；②若同一个未知数的系数绝对值不等时，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解，若方程组比较复杂，应先化简整理。

　　（四）本节应注意的问题

　　（1）“系数变形”时，应注意同一个方程的左、右两边每一项均应乘同一个适当的数，防止漏乘。

　　（2）“加减消元”时，由于是两个方程的左、右两边分别相加或相减，特别易出现漏项、变号（相减时）等错误。

　　（3）“回代求解”时，应代入系数相对较简单的一个方程。

　　（4）“加减消元”时，若同一个未知数系数的绝对值都不相等，则选取一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，从而进行加减消元。

　　（5）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等），再进行消元。

　　（五）典型例题

　　例1.已知方程组 2x-y=7 ①和 x+by=a ③有相同的解，求a，b的值。

　　ax+y=b ② 3x+y=8 ④

　　[分析]由已知两个方程组有相同的解，可知方程2x-y=7和3x+y=8有相同的解，故将此两方程联立得二元一次方程组，其解又应满足由ax+y=b和x+by=a组成的方程组，进而求解。

　　解：依题意得 2x-y=7，解之，得 x=3，

　　3x+y=8， y=-1.

　　将它分别代入两个方程组的另两个方程，得到关天a、b的方程组 3a-b=1，

　　a+b=3.

　　解之，得 a=1，即为所求。

　　b=2

　　说明：此例须找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程一，从而求出参数的解。

　　例2. m取什么整数时，方程组 2x-my=6 ①的解是正整数？

　　x-3y=0 ②

　　[分析]将m看成已知数，求出含字母的x、y的值，再由解为正整数来决定m的取值。

　　解：由②得 x=3y

　　将它代入①中 2×3y-my=6

　　得 y=6/（6-m）.

　　x、y都是正整数

　　6-m的值为1、2、3、6；

　　即m的值为0、3、4、5.

　　说明：此例是把参数当作已知数求出方程的解，再依据已知条件求出参数的值。

　　三、结束语

　　二元一次方程组的解法是初中代数的重要内容，许多问题都可以通过消元来解决，因此我们须认认真真地学好这方面的知识。这一节题型很多，以上我只举了5例，只须记得解方程组的目的是消元，将思维拓展开来，从而面对各种题目时都能迎刃而解了。

　　已知方程组篇4

　　类型一 新定义型

　　例1 （2012年菏泽卷）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线记为a bc d，定义a bc d=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式?郾 若x+1 x-11-x x+1=8，则x=?郾

　　解：根据2阶行列式的定义，由x+1 x-11-x x+1=8得

　　（x+1）（x+1）-（x-1）（1-x）=8，

　　即（x+1）2+（x-1）2=8，化简得x2=3?郾

　　解得x1=■，x2=-■?郾

　　温馨小提示：理解新定义，把新问题转化为常规问题即可解决?郾

　　类型二 整体思考型

　　例2 （2012年资阳卷）先化简，再求值：■÷（a-1-■），其中a是方程x2-x=6的根?郾

　　解：原式=■÷■

　　=■×■=■?郾

　　a是方程x2-x=6的根， a2-a=6. 原式=■?郾

　　温馨小提示：这里利用整体思想，将a2-a=6整体代入，十分简捷，可见数学思想在解题中的威力?郾

　　类型三 作业批改型

　　例3 解方程x（x-1）=2?郾

　　有学生给出如下解法：

　　x（x-1）=2=1×2=（-1）×（-2），

　　x=1，x-1=2；或x=2，x-1=1；或x=-1，x-1=-2；或x=-2，x-1=-1?郾

　　解第一、四个方程组，无解；

　　解第二、三个方程组，得x=2或x=-1?郾

　　x=2或x=-1?郾

　　请问：这个解法对吗？试说明你的理由?郾

　　解：答案一 对于这个特定的已知方程，解法是对的?郾

　　理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对?郾

　　答案二 解法不严密，方法不具有一般性?郾

　　理由是：为何不可以利用2=3×■等得到其他的方程组？此学生的方法只是巧合，求对了方程的解?郾

　　温馨小提示：与传统的作业批改题不同，此题的解答更具有开放性，不管判断解法是对还是错，只要所述的理由充分都对，这恰好是该题设计的精妙之处?郾

　　类型四 阅读理解型

　　例4 （2011年十堰卷）请阅读下列材料：

　　问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍?郾

　　解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=■?郾 把x=■ 代入已知方程，得（■）2+■-1=0?郾

　　化简，得y2+2y-4=0?郾 故所求方程为y2+2y-4=0?郾

　　这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”?郾

　　请用“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：

　　（1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；

　　（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数?郾

　　解：（1）由于所求方程的根与已知方程的根互为相反数，可设y=-x，所以x=-y，代入x2+x-2=0，可得y2-y-2=0；

　　（2）设所求方程的根为y，则y=■ （x≠0），于是x=■ （y≠0），把x=■ 代入方程ax2+bx+c=0，得a（■）2+b·■+c=0 ，去分母，得a+by+cy2=0?郾 若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意， c≠0. 故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0） ?郾

　　温馨小提示：读懂材料是解答本题的关键?郾 “换根法”的本质是“整体代入”?郾 对于第（2）题要注意说明c≠0?郾

　　类型五 方案核算型

　　例5 （2011年六盘水卷）小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中x的值?郾

　　方案一 ?摇 ?摇 方案二?摇 ?摇方案三?摇 ?摇方案四

　　解：方案一 根据题意，得（8-x）（6-x）=■×8×6?郾

　　解得 x1=12，x2=2?郾 x1=12不合题意，舍去?郾 x=2?郾

　　方案二 根据题意，得（8-2x）（6-2x）=■×8×6?郾 解得 x1=6，x2=1?郾 x1=6不合题意，舍去?郾 x=1?郾

　　方案三 根据题意，得■×（8-x）（6-x）×2=■×8×6?郾 解得x1=12，x2=2?郾 x1=12不合题意，舍去?郾 x=2?郾

　　方案四 根据题意，得■×（8-2x+8）（6-x）=■×8×6?郾 解得x1=12，x2=2?郾 x1=12不合题意，舍去?郾 x=2?郾

　　温馨小提示：结合各种方案的图形，利用面积建立一元二次方程?郾 在求出一元二次方程的解后，由于两个根都是正数，容易产生不符合题意的解，需要验根?郾

　　类型六 综合应用型

　　例6 （2012年杭州卷）中国国际动漫节以“动漫的盛会，人民的节日”为宗旨，以“动漫我的城市，动漫我的生活”为主题，已在杭州成功举办了七届?郾 目前，它成为国内规模最大、交易最旺、影响最广的动漫专业盛会?郾

　　下面是自首届以来各届动漫产品成交金额统计图表（部分未完成）：

　　（1）请根据所给的信息将统计图表补充完整；

　　（2）从哪届开始成交金额超过百亿元?相邻两届中，哪两届的成交金额增长最快?

　　（3）求第五届到第七届的平均增长率，并用它预测第八届中国国际动漫节的成交金额（精确到亿元）?郾

　　解：（1）根据统计图得到答案，表格中填33，补全的统计图如右图；

　　（2）第六届；从第五届到第六届的成交金额增长最快；

　　（3）设第五届到第七届的平均增长率为x，由题意得：65?郾3（x+1）2=128，解得x1≈0?郾4，x2≈-2?郾4（不合题意，舍去），128（1+0?郾4）≈179?郾

　　答：预测第八届中国国际动漫节的成交金额约为179亿元?郾

　　已知方程组篇5

　　【关键词】韦达定理；运用；中考试题

　　一、已知方程一根，求另一根及未知系数

　　例1 （2011?江苏镇江常州）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2，则m=，另一个根是 .

　　解析 设另一根为x1，由韦达定理得2+x1=-m，2?x1=-6，x1=-3，m=1.

　　总结 也可以将x=2代入原方程，先求出m的值，再求出另一根，但利用韦达定理更为简便.

　　二、不解方程，求与两根有关的代数式的值

　　例2 （2011?山东德州）若x1，x2是方程x2+x-1=0的两个根，则x21+x22=.

　　解析 x1，x2是方程x2+x-1=0的两个根，

　　x1+x2=-1，x1?x2=-1，

　　x21+x22=（x1+x2）2-2x1?x2=（-1）2-2×（-1）=1+2=3.

　　归纳 此类问题的关键是将所求的代数式进行恒等变形，化为含有x1+x2与x1?x2的形式，然后把x1+x2与x1?x2的值整体代入计算.

　　三、已知两根的关系，求未知系数

　　例3 （2011?湖北孝感）已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.

　　（1）求k的取值范围；

　　（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.

　　解析 （1）由方程有两个实数根，可得Δ=b2-4ac=4（k-1）2-4k2≥0，解得k≤1[]2.

　　（2）依据题意可得x1+x2=2（k-1），由（1）可知k≤1[]2，2（k-1）＜0，-2（k-1）=k2-1，解得k1=1（舍去），k2=-3，k的值是-3.

　　归纳 将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法.注意k的取值范围（满足Δ≥0）是正确解答的关键.

　　四、求作一元二次方程

　　例4 （2002?四川达州）已知一元二次方程2x2+3x-5=0，不解方程，求作以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程.

　　解析 设方程的两根为x1，x2，则所求的方程的两根为1[]x1和1[]x2.

　　由韦达定理得x1+x2=-3[]2，x1?x2=-5[]2.

　　1[]x1+1[]x2=x1+x2[]x1x2=3[]5,1[]x1?1[]x2=1[]x1x2=-2[]5，

　　所求方程为x2-3[]5x-2[]5=0.

　　归纳 求作新一元二次方程，先求出新方程的两根之和p与两根之积q，则所求方程为x2-px+q=0.

　　五、已知两数和与两数积求这两个数（解二元二次方程组）

　　例5 （2005?广州）解方程组x+y=3,

　　xy=-10.

　　解析 由题意得x,y是方程z2-3z-10=0的两根，解得z1=5，z2=-2.

　　所以原方程组的解为x1=5,

　　y1=-2，x2=-2,

　　y2=5.

　　总结 如果x,y满足x+y=p，xy=q，则x，y一定是方程z2-pz+q=0的两个实数根，掌握这个结论，有时会对解题有帮助的.

　　六、求一元二次方程根的分布情况

　　例6 （2002?呼和浩特）已知方程（x-1）（x-2）=k2，其中k为实数且k≠0，不解方程证明：

　　（1）这个方程有两个不相等的实数根；

　　（2）方程的一个根＞1，另一个根＜1.

　　证明 （1）把（x-1）（x-2）=k2化简，得

　　x2-3x+2-k2=0，

　　Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（2-k2）=1+4k2＞0，

　　方程有两个不相等的实数根.

　　（2）设方程有两个根为x1和x2，

　　（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=2-k2-3+1=-k2.

　　k为实数且k≠0，-k2＜0，因此方程的一个根大于1，另一个根小于1.

　　总结 （1）判断一元二次方程根的情况取决于判别式Δ=b2-4ac的符号.（2）判断方程的一个根＞1，另一个根＜1，转化为（x1-1）（x2-1）＜0，是解题的关键.

　　已知方程组篇6

　　[关键词] 自然；有效；目标

　　数学课堂应怎样走出单向传输、过量习题训练的误区，切实提高教学效率和教学质量，使每一个孩子都有收获呢？笔者最近在设计、试讲“二元一次方程组的图象解法”这节内容时，有一点小小的感悟.

　　教材分析

　　本章内容是“数与代数”的重要内容，贯穿了“从实际问题到函数（建模）―解决数学问题（研究函数的图象和性质）―用函数解决问题（应用）”的线索. 本节课是用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，是一次函数在数学内部的应用. 学生通过画图、观察、探索等活动，体验函数是处理和解决问题的有力工具，从而更加深刻地理解“数形结合”这一重要思想方法，感受函数与方程的辩证统一，感受数学知识与方法的内在联系.

　　课堂教学实况（节录）

　　师：还记得如何解二元一次方程组2x-y-3=0，x-y+1=0 吗？

　　生：记得，用代入消元法和加减消元法.

　　师：二元一次方程组除了代入消元法和加减消元法之外，还有一种新的方法――图象解法，今天我们就来学习二元一次方程组的图象解法.

　　师：已知方程2x-y-3=0，请同学们用含x的代数式表示y.

　　生1：y=2x-3.

　　师：已知方程x-y+1=0，请用含x的代数式表示y.

　　生2：y=x+1.

　　师：y=2x-3，y=x+1是我们最近学的什么关系式？

　　生：一次函数关系式.

　　师：任意的二元一次方程ax+by+c=0（b≠0）都能写成一次函数的形式吗？是什么？

　　生3：可以，写成一次函数的形式为y=-■x-■.

　　师：一次函数y=kx+b能转化成二元一次方程的形式吗？

　　生4：可以，y=kx+b就是一个二元一次方程.

　　师：一次函数与二元一次方程形式可以互相转化！

　　师：请同学们画出一次函数y=2x-3的图象，并在函数图象上任意找两个不重合的点. 请三位同学告诉我你找的点的坐标是什么.

　　生5：点（1，-1），（0，-3）.

　　生6：点（4，5），（3，3）.

　　生7：点（2，1），（-1，-5）.

　　师：你们找的这些点在一次函数y=2x-3的图象上，它们的坐标是方程2x-y-3=0的解吗？试试看刚才三位同学找的点，再试试你自己找的点.

　　生：……是的.

　　师：黑板上六个点的坐标都是方程2x-y-3=0的解. 你们自己找的直线上点的坐标也是方程2x-y-3=0的解，那么直线y=2x-3上的任意一点的坐标是否都是方程2x-y-3=0的解呢？

　　生：是的.

　　师：二元一次方程2x-y-3=0的解有多少个？

　　生：无数个.

　　师：请你写出其中几个.

　　生8：x=0.5，y=-2； x=2，y=1； x=0，y=-3； …

　　师：以解x=0.5，y=-2 为坐标的点（0.5，-2）在一次函数y=2x-3的图象上吗？

　　生：在.

　　师：你们写出的其他解呢，以它们为坐标的点在直线y=2x-3的图象上吗？

　　生：在.

　　师：以方程2x-y-3=0的解为坐标的点是不是都在一次函数y=2x-3的图象上？

　　生：是的.

　　师：观察你所画的一次函数y=2x-3图象上的点，它与二元一次方程2x-y-3=0的解有什么关系？

　　生9：一次函数y=2x-3图象上点的坐标是二元一次方程2x-y-3=0的解，以方程2x-y-3=0的解为坐标的点都在直线y=2x-3上.

　　师：由特殊到一般，一次函数y=kx+b（k≠0）图象上的点与二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解有什么关系呢？

　　生10：一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.

　　师：借助平面直角坐标系，我们得到了一次函数y=kx+b（k≠0）的图象――直线y=kx+b，一次函数y=kx+b与二元一次方程组kx-y+b=0的形式又可以相互转化. 通过平面直角坐标系，二元一次方程kx-y+b=0的解与直线y=kx+b上的点一一对应，一次函数与二元一次方程从形式到内容都是统一的.

　　（巩固练习略）

　　师：请同学们在刚才的平面直角坐标系上再画出一次函数y=x+1的图象，并观察两条直线的位置关系.

　　生：相交.

　　师：交点坐标是什么？

　　生11：（4，5）.

　　师：交点坐标满足方程y=x+1吗？

　　生：满足.

　　师：交点坐标满足方程y=2x-3吗？

　　生：满足.

　　师：二元一次方程组y=x+1，y=2x-3 的解是什么？

　　生12：x=4，y=5.

　　师：课题引入的方程组2x-y-3=0，x-y+1=0 的解是什么？

　　生13：x=4，y=5.

　　师：通过刚才的探索，你知道二元一次方程组的解是什么了吗？

　　生14：先把两个二元一次方程化成一次函数的形式，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标.

　　师：很好，两个一次函数的交点的坐标P（m，n）就是相应的二元一次方程组的解x=m，y=n，那么，反过来，二元一次方程组的解是相应的一次函数的交点坐标吗？

　　生：是的.

　　师：借助平面直角坐标系，二元一次方程组的解和相应的一次函数图象的交点坐标建立了对应关系，我们既可以利用相应的一次函数的图象来求二元一次方程组的解，也可以利用解相应的二元一次方程组来求两条直线的交点坐标. 比如例1. （下略）

　　教学特色简析及教后反思

　　1.？摇自然

　　（1）课的引入自然. 直接引入二元一次方程组的图象解法，让学生对本节课的目的一目了然，引起他们的学习兴趣.

　　（2）各个教学环节衔接自然. 整个课堂紧紧围绕“二元一次方程组的图象解法”这一核心，让学生先探索出二元一次方程与一次函数在形式上是统一的，再让学生理解和认同二元一次方程的解和一次函数图象之间的关系，最后让学生生成概念：二元一次方程组的解和一次函数图象交点对应，明白可以利用相应的一次函数的图象来求二元一次方程组的解，也可以利用解相应的二元一次方程组来求两条直线的交点坐标. 各环节的过渡衔接借助教师的启发、引导，对话交流，逐步植入学生既有的脚手架，如在探索二元一次方程与一次函数的形式互化时，教师启发学生回顾已有的学习经验（已知方程ax+by+c=0（b≠0），如何用含x的代数式表示y，即一次函数关系式），及时为学生的探究提供夯实的着力点，提供有力支撑，确保探究活动顺畅、深入展开.

　　（3）知识技能生成自然. 在让学生理解和认同“二元一次方程的解和一次函数图象之间的关系”时，教师先让学生画一次函数的图象，通过引导学生自己找点和解，尝试探索出规律，自动生成结论. 这样就促使学生经历充分的体验与孕育过程. “一次函数与二元一次方程从形式到内容都是统一的”这一结论的生成就水到渠成，也容易纳入学生的认知结构. 而且，在此过程中，学生经历了画图和运算求解过程，不断观察，相互交流，大胆归纳推理，这一系列的技能训练使心智得到了进一步开启.

　　2. 有效

　　（1）从学生的参与度看，教学是有效的. 学生不仅行为参与教学（画图，运算，求解，归纳，不断观察、交流），而且在教师的引导启发下，课堂妙趣横生、轻松愉快，又不失理性的探究氛围，教师敢放手、善放手、必要时扶一手，确保学生有积极的认知参与和丰富的情感参与.

　　（2）从目标的达成度看，教学是有效的. 本课的效果不仅体现在知识的“吸收”、技能的“熟练”上，还体现了学生的学习研究数学意识正逐步强化. 这些方面都在本节课的后续教学中得到印证.

　　（3）从教学的效率看，本节课的教学是有效的. 新课标要求“注重数学知识之间的联系”“数学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.” 本节课要求学生能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，体会一次函数与二元一次方程的内在联系. 本节课通过让学生在画出一个一次函数图象探索出一些结论的基础上，再画出另外一个一次函数图象，判断两条直线的位置情况，然后探索出其他结论. 建立在对前面探索活动的理解基础上，学生对新的探索活动参与度高、理解快、效果好，这样就弥补了学生在有限时间内探索的局限性，达到了有机整合.

　　已知方程组篇7

　　[关键词] 自组织开放系统旅游地复合系统

　　一、旅游地复合系统的自组织性

　　1.旅游地复合系统的性质。旅游地复合系统具有自组织的一般性质，这是应用自组织理论研究旅游地复合系统的前提和基础。

　　（1）旅游地复合系统具有开放性。旅游地复合系统生存和发展的首要条件是旅游地复合系统的开放性, 主要体现在两个方面:①旅游地复合系统内部的开放性。就是要加强旅游地复合系统内部各子系统之间的联系,打破彼此之间“不相往来”的封闭局面,使各部门之间的关系协调起来。②旅游地复合系统的对外开放。就是要加强旅游地复合系统与非旅游系统之间的物质、人员、能量等方面的对流,要不断地引进系统外的先进技术和先进的理念充实系统。

　　(2)远离平衡态的旅游地复合系统才能发展。平衡态是指孤立系统不随时间变化与外界没有联系的一种“死”的、混乱无序的状态。开放系统则不同,通过与外界环境进行物质、能量和信息的交换,系统可以形成一种稳定的有序结构。

　　(3) 旅游地复合系统的各要素之间存在着复杂的非线性相互作用。各要素之间不是简单的因果关系、线性依赖关系,而是既存在着正反馈的倍增效应、也存在着限制增长的饱和效应。

　　(4) 旅游地复合系统的涨落。旅游地复合系统由大量的子系统组成,旅游地复合系统的状态不是各子系统状态的简单迭加,而是一个综合平均的效应,因此必然存在涨落现象。

　　2.构建景区景点模型的自组织理论基础。自组织理论指出,系统相变过程中起支配作用的仅是一个或少数几个变量,只需研究它们的变化规律,就能找出系统的总体演化特点,而没有必要去分析研究所有变量。在分析非线性方程组时,自组织理论着重整体分析,采用定性理论求出系统的稳定状态,研究随参数的改变系统稳定状态改变的情况。在选择已知方程讨论复杂社会系统的问题时应该注意,只要系统具有已知方程的一些特点,就可以利用该方程,因为社会系统非常复杂,如果只追求社会系统与某已知方程在细节上的一致,而不敢使用已知方程来描写系统的演化,最终对社会系统仍然无法分析。

　　二、系统中景区景点开发模型

　　景区景点开发模型是以Logistic方程为基础建立。设第t年用于景区景点开发的总经费为X(t),假定旅游地需要开发n个景区景点,即发展n个新项目。对任一个新项目的研制,要从成本和价值判断两个角度出发,我们以总经费在第i项目上的比例为变量,设在第i项目上的分配比例为Xi,它应满足:（1）

　　这里,对第i个项目建立一个价值空间Ai。价值空间由多项指标构成:该项目的经济地位及创税能力,用Ci表示;其他项目对该项目的协作要求,用αij表示;该项目已有的发展优势,用αii表示。取该空间中相应矢量的模作为该项目的价值度量Ai,则有(2)

　　在(2)式中,若αij=0,则表明由于j项目的发展,不应再发展i项目;一般情况下,应有αij>0。

　　对于第i个项目我们假定其基本发展成本为αi0,从成本角度分析,第i项目对开发经费的分配比例Pi:(3)

　　从价值角度分析,第i项目对旅游地开发经费的分配比例qi为:（4）

　　最终系统满足的定态比例应是由Pi与qi所共同决定的函数fi,即fi=fi(qi,Pi)。

　　对任意一新项目的发展,应由经济实力和价值共同决定,对基本成本较高的项目,若景区景点开发经费总额较低,则不应发展。因此,加入一个判据函数gi(x,αi0,qi),它应有以下性质:当αi0/X>qi时gj=0(5)

　　即当基本成本占总经费比例大于价值判断比例时,则不应对该项目投资,取（6）

　　在上面的一些基本假设条件下,给出景区景点开发系统的动力学方程: （7）并且fi=fi(qi,pi)（8）

　　已知方程组篇8

　　一、求代数式的值

　　例1实数a，b，c满足b=8-a，c2=ab-16，求a3+b3+c3的值.

　　解：由已知条件得a+b=8，ab=c2+16，

　　a，b可以看做是方程x2-8x+c2+16=0的两根，又因为a，b为实数，

　　所以Δ=（-8）2

　　-4（c2+16）=-4c2≥0，

　　则4c2≤0，得c=0，

　　从而Δ=0，故方程有两相等实数根，

　　所以有a=b=4，c=0，

　　因此a3+b3+c3=43+43+03=128.

　　二、证明代数不等式

　　例2正数a，b，c，x，y，z满足条件a+x=b+y=c+z=k，求证：ax+by+cz＜k2.

　　证明：由a+x+（-k）=0，可知方程at2-kt+x=0必有实数根t=1，

　　从而Δ=（-k）2-4ac≥0，

　　即ax≤k2，

　　同理， by≤k2，cz≤k2，

　　ax+by+cz≤k2＜k2.

　　三、解方程组

　　例3解方程组x-y=2z2+xy+1=2.

　　解: 原方程组可转化为x+（-y）=2x?（-y）=z2+1，

　　则x，-y可以看成关于t的一元二次方程t2-2t+z2+1=0的两个根，

　　Δ=（-2）2-4（z2+1）=-4z2，

　　当 z≠0时，Δ＜0，原方程无解，

　　当z=0时，Δ=0，t1=t2=1，

　　即x=1y=-1z=0.

　　四、证明几何不等式

　　例4如图，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F，求证：AE+AF≥4AB.

　　证明：连AC，设正方形ABCD的边长为a，则由面积SΔAEF=SΔACF+SΔACE，得AE?AF=AF?CD+AE?BC=a（AE+AF）， 即AE?AF=a（AE+AF），

　　从而AE，AF是方程x2-（AE+AF）x+a（AE+AF）=0的两实根，

　　所以Δ=（AE+AF）2-4a（AE+AF）≥0，

　　得AE+AF≥4a，即AE+AF≥4AB.

　　五、判断三角形的形状

　　例5已知：a，b，c是ΔABC的三边且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断ΔABC的形状.

　　解：将已知等式整理为关于a的一元二次方程a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0，

　　a为实数，

　　Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）≥0，

　　即-3（b-c）2≥0，

　　（b-c）2≤0，

　　则b-c=0，故b=c，

　　将b=c代入原等式整理得（a-c）2=0，

　　a=c，

　　从而a=b=c，

　　ΔABC是等边三角形.

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