韦达定理：

　　设一元二次方程

　　中，两根x?、x?有如下关系：

　　，

　　韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

　　法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

　　由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

　　扩展资料：

　　定理推广

　　逆定理

　　如果两数α和β满足如下关系：α+β=

　　，α·β=

　　，那么这两个数α和β是方程

　　的根。

　　通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

　　推广定理

　　韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

　　定理：设

　　（i=1、2、3、……n）是方程：

　　的n个根，记

　　（k为整数），则有：

　　。

　　参考资料:搜狗百科---韦达定理

　　韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

　　韦达定理(Vieta's Theorem）的内容

　　韦达定理的物理应用一

　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为x1，x2 　　则X1+ X2=-b/a 　　X1·X2=c/a 　　用韦达定理判断方程的根 　　若b^2-4ac≥0则方程有实数根 　　若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根 　　若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 　　若b^2-4ac<0 则方程没有实数解 　　韦达定理的推广 　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 　　它的根记作X1,X2…，Xn 　　我们有 　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) 　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) 　　… 　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 　　其中∑是求和，Π是求积。 　　如果一元二次方程 　　在复数集中的根是，那么 　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 　　(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|

　　编辑本段证明及结论

　　二次函数与一元二次方程的解

　　由一元二次方程求根公式为：X=(-b±√b^2-4ac)/2a 　　（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数） 　　可得X1=(-b+√b^2-4ac)/2a ，X2=(-b-√b^2-4ac)/2a 　　1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a 　　所以X1﹢X2=-b/a 　　2. X1X2=[（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a] 　　所以X1X2=c/a 　　（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2） 　　（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 　　又因为X1.X2的值可以互换，所以则有 　　X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】 　　所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a 　　韦达定理推广的证明 　　设X?，X?，……，xn是一元n次方程∑AiXi=0的n个解。 　　则有：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=0 　　所以：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=∑AiXi　（在打开(x-x?)(x-x?)……(x-xn)时最好用乘法原理） 　　通过系数对比可得： 　　A（n-1）=-An(∑xi) 　　A（n-2）=An(∑xixj) 　　… 　　A0=[(-1) ]×An×ΠXi 　　所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n) 　　∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n) 　　… 　　ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n) 　　其中∑是求和，Π是求积。

　　编辑本段有关韦达定理的例题

　　例1 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根． (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 　　解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得 　　x1+x2=－p，x1x2=q． 　　于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198， 　　即x1·x2－x1－x2+1=199． 　　∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199． 　　注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数， 　　解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0． 　　例2 已知关于x的方程x－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值． 　　解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得 　　x1+x2=12－m，x1x2=m－1． 　　于是x1x2+x1+x2=11， 　　即(x1+1)( x2+1)=12． 　　∵x1、x2为正整数， 　　解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3． 　　故有m=6或7． 　　例3 求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数． 　　解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求． 　　若k≠0，设二次方程的两个整数根为x?、x?，且X?≤X?，由韦达定理得 　　∴x?x?－X?－x?=2， 　　(x?－1)( x?－1)=3． 　　因为x?－1、x?－1均为整数， 　　所以X?=2，X=4；X?=—2，X?=0. 　　所以k=1,或k=-1/7 　　例4 已知二次函数y=－x2+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． (97四川省初中数学竞赛试题) 　　证明：由题意，可知方程－x2+px+q=0的两根为α、β． 　　由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q． 　　于是p+q=α+β－αβ，=－(αβ－α－β+1)+1=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．

　　韦达定理：

　　设一元二次方程

　　?

　　中，两根x?、x?有如下关系：

　　?

　　，

　　?

　　韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

　　法国数学家弗朗索瓦

　　韦达定理,即一元二次方程的根与系数关系定理

　　ax^2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2

　　则x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a

　　内容分析

　　1.一元二次方程的根的判别式

　　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac

　　当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

　　当△＝0时，方程有两个相等的实数根，

　　当△＜0时，方程没有实数根．

　　2.一元二次方程的根与系数的关系

　　(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么 ，

　　(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，

　　x1x2=q

　　(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

　　x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

　　3.二次三项式的因式分解(公式法)

　　在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

　　实例:已知x^2-2x-3=0的两根x1,x2,求x1平方+x2平方

　　解法一:求得方程2根为-1和3,所以 x1平方+x2平方=10

　　解法二:不解方程直接用韦达定理,x1平方+x2平方=(x1+x2)^2-2x1*x2=4+6=10

　　如果方程不容易解的话,韦达定理的优势就体现出来了.

　　韦达定理 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理 ax2+bx+c=0 x1和x2为方程的两个跟 则x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 韦达定理应用中的一个技巧 在解有关一元二次方程整数根问题时，若将韦达定理与分解式αβ±(α＋β)＋1＝(α±1)(β±1)结合起来，往往解法新颖、巧妙、别具一格．例说如下． 例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根． (’94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得 x1＋x2＝－p，x1x2＝q． 于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198， 即x1x2－x1－x2＋1＝199． ∴(x1－1)(x2－1)＝199． 注意到x1－1、x2－1均为整数， 解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0． 例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值． 解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得 x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1． 于是x1x2＋x1＋x2＝11， 即(x1＋1)(x2＋1)＝12． ∵x1、x2为正整数， 解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3． 故有m＝6或7． 例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数． 解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求． 若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得 ∴x1x2－x1－x2＝2， (x1－1)(x2－1)＝3． 因为x1－1、x2－1均为整数，所以 例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1． (97四川省初中数学竞赛试题) 证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得 α＋β＝p，αβ＝－q． 于是p＋q＝α＋β－αβ， ＝－(αβ－α－β＋1)＋1 ＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

　　达定理：

　　设一元二次方程

　　中，两根x?、x?有如下关系：

　　，

　　韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

　　法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

　　由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

　　扩展资料：

　　定理推广

　　逆定理

　　如果两数α和β满足如下关系：α+β=

　　，α·β=

　　，那么这两个数α和β是方程

　　的根。

　　通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

　　推广定理

　　韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

　　定理：设

　　（i=1、2、3、……n）是方程：

　　的n个根，记

　　（k为整数），则有：

　　。

　　参考资料:搜狗百科---韦达定理

标签：定理方程关系