平方和公式

　　平方和公式n(n+1)(2n+1)/6

　　即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)

　　证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6

　　证法一（归纳猜想法）：

　　1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1

　　2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5

　　3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

　　则当N＝x＋1时，

　　1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

　　＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

　　＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

　　＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

　　＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

　　也满足公式

　　4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

　　证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：

　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

　　..............................

　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

　　把这n个等式两端分别相加，得：

　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

　　代入上式得：

　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n

　　整理后得：

　　1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

　　a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

　　1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

　　平方和公式n(n+1)(2n+1)/6

　　即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)

　　没有平方和公式

　　有平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)

　　完全平方公式：（a+b）^2=a^2+2ab+b^2

　　(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)

　　(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

　　平方和公式n(n+1)(2n+1)/6

　　即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)

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