第一章 n 阶行列式 第二章 矩阵 第三章 向量组与矩阵的秩 第四章 线性方程组 第五章 特征值与二次型 第六章 线性空间与线性变换 n 阶行列式 第一章 1 全排列及逆序数 定义 1 由1 ，2 ， ,n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列（简称 排列 ）。 定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个 逆序 （ 反序 ）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的 逆序数。 。 一个排列j 1 , j 2 , ,j n 的逆序数，一般记为 ? ? (j 1 , j 2 , ,j n ) 排列12 的逆序数为0 ， 排列21 的逆序数为1 ， 排列231 的数对21 、31 均构成逆序，而23 不够成逆序，因此排列231 的逆序数为2 。 排列213 的逆序数是1 。 定义3 逆序数为偶数的排列称为 偶排列 ，逆序数为奇数的排列称为 奇排列。 。 2 行列式的定义 定义4 设有n 2 个数a ij （ （i ， j ＝ 1 ， 2 ， , n） ）， ， 排成正方阵形式 nn n nnna a aa a aa a a ? ? ? ? ? ?2 12 22 211 12 11 在不同行、不同列中取n 个数作乘积 ，并乘以符号 （其中J 为列标排列j 1 , j 2 , ,j n 的逆序数），记为 为 ，这样的乘积有 项。 nnj j ja a a ?212 1J) 1 (? ?nnj j jJa a a ?212 1) 1 ( ? ? ? ?! n? ? ? ?nnnj jj jjJa a a 2112 11? ?它们的和 称为n 阶行列式。 。 记为 nn n nnna a aa a aa a a ? ?2 12 22 211 12 11称为行列式的元素ija? ? ? ?nnnj jj jjJnn n nnna a aa a aa a aa a aD ? ? 2112 12 12 22 211 12 111? ? ? ? ? ?展开式或行列式的值阶行列式的 此式称为n例 例 计算4 阶行列式 44 43 42 4133 32 3122 211100 00 0 0 a a a aa a aa aaD ? ?解： ： 根据定义，D 是4 ！＝24 项的代数和，但每一项的乘积 中只要有一个元素为0 ，(要求人心净化先要求人生美化是谁的名言？朱光潜，要求人心净化先要求人生美化是朱光潜的名言。朱光潜坚信情感比理智重要，要洗刷人心，并非几句道德家言所可了事，一定要从“怡情养性”做起，一定要用饱食暖衣、高官厚禄等等之外，别有较高尚、较纯洁的企求。)乘积就等于0 ，所以只需展开式中不明显为0 的项。 nj j j ja a a a4 3 2 1321行列式展开式中不为0 的项只可能是a 11 a 22 a 33 a 44 ，而列标排列1234 的逆序数为0 ，即此项符号为正，因此行列式D ＝a 11 a 22 a 33 a 44 。 。 主对角线以上的元素全为零（即i j 时元素a ij ＝ ＝0） ）的行列式称为 下三角行列式 ，它等于主对角线上各元素的乘积。 行列式中，从左上角到右下角的直线称 为主对角线。 。 主对角线以下的元素全为0 （即i j 时元素a ij ＝ ＝0） ）的行列式称为 上三角行列式 ，它等于主对角线上各元素的乘积。 行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即i j 时元素a ij ＝ ＝0 ）的行列式称...

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