导数练习题 导数练习题及答案导数是微积分的
作者:admin 发布时间:2023-04-04 23:04:48 分类:科学 浏览:71
导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案,欢迎阅读。
一、选择题
1.函数在某一点的导数是( ?)
A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B.一个函数
C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义,f′(x0)是当Δx无限趋近于0时,ΔyΔx无限趋近的常数,故应选C.
2.如果质点A按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时速度为( ?)
A.6 ? ? ? ?B.18
C.54 ? ? ? ?D.81
[答案] B
[解析] ∵s(t)=3t2,t0=3,
∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-332
=18Δt+3(Δt)2∴ΔsΔt=18+3Δt.
当Δt→0时,ΔsΔt→18,故应选B.
3.y=x2在x=1处的导数为( ?)
A.2x ? ? ? ? ? B.2
C.2+Δx ? ? ? D.1
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x2,x=1,
∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2
∴ΔyΔx=2+Δx
当Δx→0时,ΔyΔx→2
∴f′(1)=2,故应选B.
4.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位:m,t的单位:s),则t=5时的瞬时速度为( ?)
A.37 ? ? ? ?B.38
C.39 ? ? ? ?D.40
[答案] D
[解析] ∵ΔsΔt=4(5+Δt)2-3-4×52+3Δt=40+4Δt,
∴s′(5)=limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 (40+4Δt)=40.故应选D.
5.已知函数y=f(x),那么下列说法错误的是( ?)
A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数值的增量
B.ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函数在x0到x0+Δx之间的平均变化率
C.f(x)在x0处的导数记为y′
D.f(x)在x0处的.导数记为f′(x0)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.
6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y′|x=x0,即( ?)
A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
B.f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)Δx
D.f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.
7.函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于( ?)
A.4a ? ? ? ?B.2a+b
C.b ? ? ? ?D.4a+b
[答案] D
[解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)2+b(2+Δx)+c-4a-2b-cΔx
=4a+b+aΔx,
∴y′|x=2=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 (4a+b+aΔx)=4a+b.故应选D.
8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( ?)
A.圆 ? ? ? ?B.抛物线
C.椭圆 ? ? ? D.直线
[答案] D
[解析] 当f(x)=b时,f′(x)=0,所以f(x)的图象为一条直线,故应选D.
9.一物体作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度为( ?)
A.0 ? ? ? ?B.3
C.-2 ? ? ? D.3-2t
[答案] B
[解析] ∵ΔsΔt=3(0+Δt)-(0+Δt)2Δt=3-Δt,
∴s′(0)=limΔt→0 ΔsΔt=3.故应选B.
10.设f(x)=1x,则limx→a f(x)-f(a)x-a等于( ?)
A.-1a ? ? ? B.2a
C.-1a2 ? ? ? D.1a2
[答案] C
[解析] limx→a f(x)-f(a)x-a=limx→a 1x-1ax-a
=limx→a a-x(x-a)xa=-limx→a 1ax=-1a2.
二、填空题
11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11,则
limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=________;
limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.
[答案] -11,-112
[解析] limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)Δx
=-limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=-f′(x0)=-11;
limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx
=-12f′(x0)=-112.
12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.
[答案] 0
[解析] ∵Δy=1+Δx+11+Δx-1+11
=Δx-1+1Δx+1=(Δx)2Δx+1,
∴ΔyΔx=ΔxΔx+1.∴y′|x=1=limΔx→0 ΔxΔx+1=0.
13.已知函数f(x)=ax+4,若f′(2)=2,则a等于______.
[答案] 2
[解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)+4-2a-4Δx=a,
∴f′(1)=limΔx→0 ΔyΔx=a.∴a=2.
14.已知f′(x0)=limx→x0 f(x)-f(x0)x-x0,f(3)=2,f′(3)=-2,则limx→3 2x-3f(x)x-3的值是________.
[答案] 8
[解析] limx→3 2x-3f(x)x-3=limx→3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3
=limx→3 2x-3f(3)x-3+limx→3 3(f(3)-f(x))x-3.
由于f(3)=2,上式可化为
limx→3 2(x-3)x-3-3limx→3 f(x)-f(3)x-3=2-3×(-2)=8.
三、解答题
15.设f(x)=x2,求f′(x0),f′(-1),f′(2).
[解析] 由导数定义有f′(x0)
=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx
=limΔx→0 (x0+Δx)2-x20Δx=limΔx→0 Δx(2x0+Δx)Δx=2x0,
16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
[解析] 位移公式为s=12at2
∵Δs=12a(t0+Δt)2-12at20=at0Δt+12a(Δt)2
∴ΔsΔt=at0+12aΔt,
∴limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 at0+12aΔt=at0,
已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,
∴at0=800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求(1)ΔyΔx (2)f′(1).
[解析] (1)ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx
=(1+Δx)2+3-12-3Δx=2+Δx.
(2)f′(1)=limΔx→0 f(1+Δx)-f(1)Δx
=limΔx→0 (2+Δx)=2.
18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.
[解析] f(x)=x+x2 ?(x≥0)-x-x2 (x<0)
Δy=f(0+Δx)-f(0)=f(Δx)
=Δx+(Δx)2 ?(Δx>0)-Δx-(Δx)2 (Δx<0)
∴limx→0+ ΔyΔx=limΔx→0+ (1+Δx)=1,
limΔx→0- ΔyΔx=limΔx→0- (-1-Δx)=-1,
∵limΔx→0- ΔyΔx≠limΔx→0+ ΔyΔx,∴Δx→0时,ΔyΔx无极限.
∴函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.(x→0+表示x从大于0的一边无限趋近于0,即x>0且x趋近于0)
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