由于之前缺乏控制理论方面的知识在刚接触反馈环路的时候对其中的很多名词不是很明白，这次准备采用图解的方法逐一的搞清楚这些名词并且试图找出一种便捷的设置零、极点的方法。最后准备再探讨一下关于控制技术的一些个人想法看看能否有所突破。

　　在经典控制理论中经常看到PID控制（比例、积分、微分），这三者是独立的互不影响的所以容易调节。零极点的方法同PID有异曲同工之妙，如果有被控系统的精确模型那么只要在bode图上移动零极点并采用加减运算就能得出较理想的控制效果，貌似比PID还简单（PID的优点是无需被控系统的模型）。如何理解零极点、双重零极点、斜率-1过穿越频率、条件稳定、1/2fs采样定理等等将是首先探讨的问题。

　　图1-1-1 单极点1—RC低通滤波器

　　单极点的特性如图1-1-1所示可用一个RC低通滤波器来表述。随着输入信号频率的增加输出的电压幅值不断下降相位逐渐逼近-90度（相位滞后）。

　　符合这一特性的还有LR低通滤波器，见下图：

　　图1-1-2 单极点2—LR低通滤波器

　　从两张图可以看出极点的特性是使信号幅值发生衰减这对系统稳定有益，不过相位滞后不利于系统稳定。从bode图上看极点就是使增益曲线发生顺时针旋转的拐点，从公式上看就是能使分母等于零从而得到一个极大值（后面提到的原极点会比较明显）。

　　如果将图1-1-1和图1-1-2串联起来使用对幅值的衰减能力更强，其幅频特性和相频特性曲线如下：

　　图1-1-3 串联双极点

　　图1-1-3中红色曲线为单极点蓝线虚线为两个单极点串联，串联后幅频曲线由斜率-1变为了斜率-2，相位由-90度滞后为-180度，这就是双极点的特性。

　　一般电路中的双极点是由LC电路产生的，理想的不带寄生电阻的LC双极点图如下：

　　图1-1-4 LC双极点

　　在图1-1-1中如果电容取无穷大（或RC无穷大）其极点频率fp=1/(2πRC)将无限接近于零，变成了过零点的极点——零极点（或称原极点）。这时RC电路无限接近于积分电路，在实际补偿环路中一般就是用积分电路来实现的零极点。

　　图1-1-5 零极点

　　从公式上看当频率f=0时分母等于零传递函数的增益无穷大，所以零极点可以用来提升静态增益（零频增益）。在补偿环路中零极点一般是必须和首先增加的环节。

　　零点的特性刚好跟极点相反，对信号的幅值进行放大同时相位产生 90度偏移（相位超前）,前者不利于系统稳定后者有益于系统稳定。由于要对信号进行放大所以单零点电路要借助于运放来搭建。

　　图1-2-1 单零点

　　如图1-2-1从bode图上看零点就是增益曲线发生逆时针旋转的拐点，从公式上看零点在分子上可以使方程得到零值。

　　图1-2-1中的电路两个串联就构成了双零点电路，幅频特性和相频特性曲线如下：

　　图1-2-2 双零点

　　如果将图1-1-1的单零点和图1-2-1的单极点串联起来使用结果会如何？

　　图1-2-3 零点、极点重合

　　图1-2-3显示当零、极点重合后输出信号和输入信号一致不发生任何改变。从这里可以得出一个结论：极点可用零点来补偿零点可用极点来补偿，双极点可用双零点来补偿。

　　图1-2-4 左、右半平面零点

　　右半平面零点的幅值和相位都不利于系统稳定（好像没有单阶右半平面极点）认为是不可补偿的一般都是避开右半平面零点。

　　在补偿之前首先要知道被控对象的特性，先从下面的电压模式Buck电路开始分析（实际电路可参考环路分析仪或其它方法获得、校正曲线）。

　　图2-1 Buck小信号模型

　　如图2-1先将输入电压平均化得到Vin*D作为后面的LC电路的输入电压，这时电路就可以当成线性电路来分析了（前提是小信号），其中的Vosc是芯片中的锯齿波峰值Vosc=1.25V 。这样就得到了功率级传递函数及bode图：

　　图2-2 buck功率级传递函数及bode图

　　图2-2显示此电路的穿越频率为7Khz相位余量69度，从输出到控制端直接接一个增益为1的负反馈电路即可稳定工作，下面就是按图2-1中的参数接增益为1的负反馈做的闭环仿真（ESR=0.149）。

　　图2-3-1 轻、满载输出电压

　　从仿真结果看输出电压离设定目标12V相差较大，电路并不理想（偏差公式△V=Vin/(1 Gainh(0))≈1.2V）。根据图1-1-5原理增加一个原点极点可以增大静态增益（频率fs=0），所以反馈环路中一般都会有一个积分环节。

　　增加原点极点会带来-90度的相移导致双极点处的相移超出-180度，有两种解决措施：

　　1、将穿越频率设置在低频段避开双极点。

　　2、在双极点处增加一个零点抵消原极点的影响。

　　图2-3-2 原极点补偿

　　图2-3-2是措施1的结果，由于要避开电路的双极点所以静态增益增加有限而且穿越频率比较低，在开关电源中单一积分补偿很少采用。

　　当采用措施2增加一个零点后可抵消双极点的影响使静态增益大幅提升，结果见下图：

　　图2-3-3-1原极点 零点补偿

　　此参数下的仿真电路及结果如下：

　　图2-3-3-2 原极点 零点补偿仿真电路及结果

　　从仿真结果看高的静态增益可使输出电压更接近目标值（如改善负载调整率）。

　　一般穿越频率之后会增加一个极点用来加强高频衰减，同时可以用来调节相位余量：

　　图2-3-4 原极点 零点 极点补偿

　　上图补偿波形包含一个原极点一对零、极点属于二型补偿在开关电源中用的比较广。

　　假设功率电路的输出用的是小ESR的电容，其传递函数bode图如下：

　　图2-4-1 小ESR的功率级bode图

　　小ESR所形成的零点1/(2*π*ESR*Co)位于高频处远离双极点，其对双极点的补偿有限（甚至一点补偿作用都没有），这个时候就要在双极点附近增加两个零点补偿，如果再增加两个极点一个用来抵消ESR零点的影响一个用来加强高频衰减，此时的补偿后曲线（总开环曲线）可与之前的二型补偿结果相近。

　　图2-4-2 大、小ESR的两种补偿效果

　　综上输出电容ESR较大的可用一个原极点 一对零、极点补偿，输出电容ESR小的需一个原极点 两对零、极点补偿。

　　根据待补偿电路的特性原则上可以随意增加零、极点个数（零、极点越多越灵活），但从经济实用的角度考虑希望只用一个运放匹配电阻、电容就能实现补偿，这类电路有很多比较常见的有如下三种：

　　图2-5 三种补偿器

　　TypeⅠ有一个原极点，TypeⅡ在TypeⅠ的基础上又增加了一个零点和一个极点， TypeⅢ在TypeⅡ的基础上又增加了一个零点和一个极点。

　　图3-1-1 斜率-1、-2定义

　　上图中将-20db/10倍频定义为斜率-1，-40db/10倍频定义为斜率-2，可知单极点斜率-1、双极点斜率-2、单零点斜率 1，双零点斜率 2。

　　如果以斜率-2过穿越频率点意味着此处接近双极点特性相位余量会较小，见下图：

　　图3-1-2 不同斜率对应的相位余量

　　在图3-1-2中可以通过改变增益系数来任意改变穿越频率的位置，而不影响相位（如图中改变后的虚线）。图中区域1和区域3的斜率都是-2相位余量都比较小，区域2的斜率为-1相位余量较大，如果选穿越频率的位置则区域2斜率-1这一段比较合适。

　　也有例外的情况，比如将图中零点左移使其靠近双极点则区域1斜率-2也可以选择：

　　图3-1-3 不同斜率对应的相位余量2

　　见图中区域1斜率-2的这一段相位余量充足，将穿越频率设置于此处也是可行的。

　　根据奈奎斯特采样定律穿越频率要小于1/2开关频率，假设电路的开关频率100KHz将穿越频率设置为62KHz结果如下：

　　图3-2-1穿越频率62KHz相位余量22度

　　图3-2-2 穿越频率大于1/2开关频率的电流、电压波形

　　如图3-2-2电流波形出现了大小波，输出电压还算 “稳定”。

　　保持穿越频率62Khz不变将相位余量提升至35度结果如下：

　　图3-2-3 穿越频率62Khz相位余量35度

　　从图中看当相位余量提升至35度负载变化引起一小段“大小波”后输出趋于稳定。

　　保持穿越频率不变将相位余量提升至45度的结果如下：

　　图3-2-4 穿越频率62Khz相位余量45度

　　从上图看当相位余量大于45度后电路是稳定的似乎不受采样定律限制。

　　对比下面的20KHz穿越频率和100KHz穿越频率时电路中的ＰＷＭ发生电路波形：

　　图3-2-5 PWM发生电路波形

　　如图3-2-5(b)中的Vcont信号由于穿越频率取的较大明显受到了开关噪声的影响，即便如此输出依然是稳定的而且也没有出现“大小波”的情况（相位余量取40度）。

　　穿越频率认为是电路最终“稳定”的点包括震荡电路，一般可以通过震荡或者欠阻尼震荡来推测穿越频率。以上面的Buck电路为例将穿越频率设置为20KHz，相位余量分别取0度、10度、20度、30度、45度，得到的波形如下：

　　图3-3-1 相位余量0度时的震荡波形

　　图3-3-1当穿越频率处（20KHz）的相位余量为零时电路发生了震荡，震荡周期50uS 频率20KHz与穿越频率相同。

　　相位余量为10度时的波形如下：

　　图3-3-2 相位余量10度

　　去掉第一个震荡波后余下的阻尼震荡周期为50uS左右与穿越频率相同，图中10度的相位余量对应5~6个阻尼周期。

　　相位余量为20度时的波形如下：

　　图3-3-3 相位余量20度

　　去掉第一个震荡波后余下的阻尼震荡周期为50uS左右与穿越频率相同，图中20度的相位余量对应3~4个的阻尼周期。

　　相位余量为30度时的波形如下：

　　图3-3-4 相位余量30度

　　阻尼震荡周期仍然为50uS左右与穿越频率相同，图中30度的相位余量对应1~2个阻尼周期。

　　相位余量为45度时的波形如下：

　　图3-3-5 相位余量45度

　　有资料说45度为临界阻尼状态。

　　根据上面Buck电路的仿真结果似乎有这么一个规律：相位余量X震荡次数≈60。

　　决定电路动态特性最重要的应该是穿越频率，相位余量相辅。比如有两个电路他们的相位余量都相同负载突变时都需3个震荡周期，如果其中一个的穿越频率是10kHz另一个是100kHz，则他们达到稳态所需要的时间分别是300uS和30uS。

　　书上或者资料中经常会提到典型二阶系统，如果令Buck功率级电路的输出容ESR=0则开环Buck电路可视为典型二阶系统，下面就准备对比阻尼系数和相位余量的关系。

　　(Buck二阶系统)

　　首先将阶跃函数1/s作用于Buck电路用来模拟刚上电时的状态，其次求Laplace逆变换将方程转换成时域方程，最后取不同的阻尼系数ζ并同Saber仿真对比：

　　图3-4-1 Saber同Mathcad启动波形对比

　　从图中看Saber仿真和Mathcad计算结果一致。

　　二阶系统前面的系数Vin/Vosc只影响幅值对震荡周期没有影响，比如取Vin/Vosc=1仿真和计算结果如下：

　　图3-4-2 增益系数为1的仿真、计算对比

　　但改变Vin/Vosc会影响穿越频率间接的会影响到相位余量，见下图：

　　图3-4-3 不同增益时的bode图

　　如上图增益为24时穿越频率4.389kHz增益为1时穿越频率100Hz，对应的相位余量分别为167度和23度。从这里看阻尼系数和相位余量似乎没有关系，或者说阻尼系数是针对开环而相位余量是针对闭环？

　　仍然将图2-1的Buck电路从输出到控制端接增益为1的负反馈形成闭环控制，不同相位余量时的启动波形如下：

　　图3-4-4 不同相位余量的闭环启动波形

　　图中显示闭环控制时45度相位余量的过冲和动态响应最适中，60度相位余量时更接近临界阻尼模式，这个60度和之前的规律相位余量*震荡次数=60不谋而合。（不确定计算上是否存在错误）

　　是否有公式可以将上述闭环启动波形描述出来？这个启动波形可以分为两部分见下图：

　　图3-4-5 启动波形构成

　　如图3-4-5刚上电时电路为“开环状态”当输出电压超过12V后环路介入，过冲的部分又处于“开环状态”，之后进入稳定的环路控制。开环部分的波形可由之前的二阶系统方程描述：

　　图3-4-6 开环的二阶系统与闭环控制启动对比

　　从图3-4-6是否可以得出这样一个结论：分析大信号时其波形由电路的开环（功率级）特性决定。（如何去描述闭环的时域方程？）

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