三元一次方程组的巧妙解法第 1 篇

　　解三元一次方程组的基本思想是消元，即先将三元转化为二元、再将二元转化为一元，最终达到求出未知数的值的目的。

　　下面举例分析三元一次方程组的解法。

　　第一，对于一些特殊的方程组，可根据方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法（如整体求解、设比例系数等）来消元。

　　例1解方程组x12=y13=z15，①

　　x-2y+3z=22。②

　　分析：因为①是一个连等的形式，所以可根据其特点令其等于一个常数k，直接将三元转化为一元求解。

　　解：设x12=y13=z15=k，

　　所以x=2k，y=3k，z=5k。

　　把它们代入②，整理得2k-6k+15k=22，解得k=2。

　　进而解得x=4，y=6，z=10。

　　所以原方程组的解为x=4，

　　y=6，

　　z=10。

　　第二，若方程组中某个方程缺某个元，则可从另外两个方程消去这个元，转化为二元一次方程求解。

　　例2解方程组x+3y+2z=2，①

　　2x-y=7，②

　　3x+2y-4z=3。③

　　分析：由于方程②中缺少z项，所以先利用①、③消去z。

　　解：①×2+③，得5x+8y=7。④

　　②×8+④，得21x=63，即x=3，从而得y=1。

　　把x=3，y=1代入①，得z=1。

　　第三，整体代入消元。

　　例3解方程组x+y+z=26，①

　　x-y=1，②

　　2x+z-y=18。③

　　分析：将方程③左边变形为含有方程①、②左边代数式的形式，作整体代入便可消元求解。

　　解：方程③变形为。（x+y+z）+（x-y）-y=18。④

　　把①、②代入④，得26+1-y=18，解得y=9。

　　把y=9代入②，得x-9=1，解得x=10。

　　把x=10，y=9代入①，得z=7。

　　第四，设参数消元法。

　　例4解方程组x+y=1，①

　　y+z=6，②

　　z+x=3。③

　　分析：方程组的各个方程中所含未知数个数相等，且未知数的系数都是1，如果将三个方程相加，则可得x+y+z=5，用x+y+z=5减去每个方程，可以得到方程组的解。

　　解：①+②+③，得2（x+y+z）=10，即x+y+z=5。 ④

　　由④-①，得z=4，

　　④-②，得x=-1，

　　④-③，得y=2。

　　所以方程组的解为x=-1，

　　y=2，

　　z=4。

　　第五，先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数。

　　例5解方程组2x+4y+3z=9，①

　　3x-2y+5z=11，②

　　5x-6y+7z=13。③

　　分析：三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单。

　　解：①+②×2，得8x+13z=31。④

　　②×3-③，得4x+8z=20。⑤

　　④、⑤两个方程中x的系数成倍数关系，易消去x，由⑤×3-④，得3z=9，即z=3。

　　把z=3代入⑤，得x=-1。

　　把x=-1，z=3代入①，得y=112。

　　综上所述，在解三元一次方程组时，学生应具体问题具体分析，找出其结构特点及系数之间的关系，灵活巧妙地消元，从而提高解题能力。

　　三元一次方程组的巧妙解法第 2 篇

　　【题型1】

　　（一）思路：

　　做三元一次方程，大家都觉得很麻烦，各种x, y, z，不停地计算，但是我希望这种抱怨只停留在“麻烦”这个层面，千万不要误认为，三元一次方程组是“难题”！

　　早在我们学二元一次方程组的时候，我就和大家讲述过，“为什么我们不会做二元一次方程组”，其实只不过是因为多了一个未知数，从只有x变成了同时有x, y．这个时候，我们提出的方法是“消元”，有些孩子不能理解。

　　“消元”，字面意思理解：消去元，而元指的就是未知数．再深一点理解就是，我们会做的，很熟练的，是一元一次方程，算得都很好，那我们就要想个办法把二元一次方程组变成一元一次方程，如果我们完美地做到，二元一次方程组也就不是问题了．因此，我们要去把一个未知数去“消灭掉”达成我们的目的，而这就是所谓的“消元”．

　　“代入消元法”大家都已经很熟悉了，那再来说一下“加减消元法”．

　　怎么样的形式能通过加减消去呢，我们会发现不管是加还是减，都必须保证“相同”．比如2x和2x，通过减法就消去了x；再比如3y和-3y，通过加法就消去了y；当然了，显然2x和3x直接加减肯定不能消去x，所以我们就去把2x和3x变成一样的“东西”，这个时候大家就会意识到都变成6x，那么就可以加减消去了．

　　回到我们的三元一次方程组，我们还是一样的思维，三元一次不会做怎么办？变成我们会做的“二元一次方程组”就迎刃而解了．那怎么变成二元一次方程组呢，依旧依靠我们的“消元”．

　　明确了这些，我们就来看题型1．

　　【题型1】

　　第一步：先确定“消灭目标”，也就是决定消去哪个字母，是x, y, z中的哪一个．

　　第二步：怎么消去选择的目标呢，“加减消元法”绝对是最好的“武器”．

　　第三步：幸福地解熟悉的“二元一次方程组”．

　　以

　　为例，我们选择消去x．

　　那么这三个式子直接加减没有办法消去x，所以我们就要通过三个式子的两两搭配，消去x．

　　先看①和②，要消去x，应该把①式x2变成：2x-4y+6z=-20，这个时候就可以和②式通过减法消去x，即②-①x2：

　　．

　　再看①和③，应该把①式x3变成：3x-6y+9z=-30，这个时候就可以和③式通过减法消去

　　x，即③-①x3：

　　．

　　此时，新得到的④和⑤组成了我们熟悉的“二元一次方程组”：

　　，这个我们通过加减消元，特别熟练地算出：

　　，此时再往回带，求出x=2，

　　即原方程组的解为

　　．

　　想必现在，大家都能够知道怎么合理地解三元一次方程组了，接下来就要大量的练习来尝试咯．

　　【题型2】

　　这种题目也是有专门的做法的．

　　我们通常设

　　，得到：

　　，代入5x+2y-3Z=8 得：5x2k+2x3k-3x4k=8，解得：k=2，再回代：

　　．

　　这一类题目都用这种方法做就格外简单了．

　　【题型3】

　　这个涉及到我们上学期的多连比问题，由题意，可以很快地得到：x: y: z=15: 10: 8，

　　上学期做比例应用题相同的假设方法，因为x: y: z=15: 10: 8，所以设x=15k，y=10k，z=8k，再代入x+y+z=66，得：15k+10K+8K=66，解得：k=2，回代得：

　　.

　　这种带比例的三元一次方程组用这种做法就可以容易的解决了.

　　三元一次方程组的巧妙解法第 3 篇

　　方程组中含有三个未知数，并且每个方程中含的未知数的次数都是一，共有三个方程，由这三个方程所组成的方程组叫三元一次方程组。

　　解三元一次方程组，思路和解二元一次方程组是一样的，最关键的是要消元，变三元为二元，变二元为一元，从而达到消元的目的。

　　解三元一次方程组的一般步骤

　　一：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组：二：二：解这个二元一-次方程组，求出两个未知数的值;)三：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一处比较简单的方程，得到一个一-元一次方程;

　　四：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数

　　五：将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起。

　　解三元一次方程组在解题之前要认真观察，找到方程组中各方程未知数系数的特点，找准容易消掉的未知数，化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”，用解二元一次方程的解法来求解即可。

　　代入消元法解三元一次方程组。

　　一：利用代入法消去一个未知数，得出二元一次方程组。

　　二：解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值。

　　三：将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数。把这三个数写在一起，就是所求的三元一次方程组的解。

　　加减消元法解三元一次方程组。

　　一：利用加减法消去一个未知数，得出二元一次方程组。

　　二：解这个二元一次方程组，得出两个未知数的值。

　　三：将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是三元一次方程组的解。

　　三元一次方程组的巧妙解法第 4 篇

　　列三元一次方程组解应用题的一般步骤

　　1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；

　　2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；

　　3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

　　4．解这个方程组，求出未知数的值；

　　5．写出答案(包括单位名称)．

　　要点诠释：

　　(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．

　　(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．

　　(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组

　　例题解析

　　例1:乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，求甲、乙、丙三个数。

　　例2：某选择题共有10小题，评分标准如下：选对得4分，选错倒扣2分，不选得0分，已知小王选择题的得分是28分，且选对的题数是选错题数的4倍，问小王选对、选错、不选的各有几题。

　　例3：某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？

　　例4:某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 43804380朵，求甲、乙、丙三种盆景数？

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