摘 要： 极限理论在高等数学中占有重要的地位，它是建立许多数学概念（如函数的连续性、导数、定积分等）的必不可少的工具。因此，极限运算是高等数学课程中基本运算之一。每一个极限运算都有它适合的方法。一部分极限运算要使用极限的四则运算法则。使用极限的四则运算法则时，应注意它们的条件，当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则；当分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则。为了简化极限的运算，我们往往需要对函数作代数或三角的恒等变形。

　　关键词： 高等数学 极限运算 极限的四则运算法则

　　极限理论在高等数学中占有重要的地位，它是建立许多数学概念（如函数的连续性、导数、定积分等）的必不可少的工具。因此，极限的求法是高等数学课程中基本运算之一。针对每一个极限运算都有其适合的方法。而一部分极限运算需要使用极限的四则运算法则。

　　极限的四则运算法则为：设f（x）=A，g（x）=B，A、B为有限常数，则：

　　（1）［f（x）±g（x）］=f（x）±g（x）=A±B；

　　（2）f（x）g（x）=f（x）g（x）=AB；

　　（3）==（B≠0）。

　　以上四则运算法则对于自变量x的其它变化趋势也同样适用。

　　使用极限的四则运算法则时，我们应注意它们的条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则；当分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则。

　　为了使用极限的四则运算法则，我们往往需要对函数作代数或三角的恒等变形。例如：（1）当分子、分母的极限都是零时，有时可通过因式分解或有理化分子（或分母）消去分子、分母中极限为零的因式；（2）当分子、分母的极限都是无穷大时，分子、分母有时可同除以x（或n）的最高次幂；（3）作适当的变量代换；（4）利用三角公式变形，等等。

　　下面通过例题来展示以上情形。

　　例1：求极限。

　　解：由于（-）=0，故不能直接使用商的极限运算法则。因此需把分子、分母分别有理化，得：

　　2：求极限。

　　解：当x0时，arcsinx0，故不能直接用商的极限运算法则。因为当x0时，3tanx0，令t=3tanx，利用ln（1+t）~t（t0时），于是有ln（1+3tanx）~3tanx~3x。类似的，arcsinx~x，所以：

　　例3：求极限。

　　解：当n∞时，分子、分母的极限都是无穷大（极限不存在），故不能直接用商的极限运算法则。分子提取出因式3，分母提取出因式3，得：

　　注意，这里用到一个重要的结论：当|q|＜1时，q=0。

　　例4：求极限（-）。

　　解：由于=∞，故不能用差的极限运算法则。有理化后，得：

　　例5：求极限（-）。

　　解：由于=∞，故不能用差的极限运算法则。这时可先通分。

　　例6：求极限（×××…×）。

　　解：当n∞时，乘积的项数在无限增多，故不能用积的极限运算法则。因为+++…+=，所以：

　　例7：求极限（sin-sin）。

　　解：当x+∞时，sin及sin的极限都不存在，故不能用差的极限运算法则。利用和差化积的公式：sinα-sinβ=2sincos，得：

　　（sin-sin）

　　=2sincos

　　由于cos不存在，故不能用积的极限运算法则。但是，当x+∞时，

　　sin=sin=sinsin0=0，它是无穷小，而cos是有界函数（因|cos|≤1），

　　依照无穷小的性质（有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小），当x+∞时，sincos是无穷小，所以：

　　（sin-sin）=0

　　以上七个例题，很好地说明了使用极限的四则运算法则时，应注意它们的条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则；当分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则。为了简化极限的运算，往往需要对函数作代数或三角的恒等变形。

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