摘 要： 惯性是物理学中最基本的概念之一。由于牛顿运动定律只在一定的参考系中成立，因此在经典物理学课程中都对惯性系与非惯性系、牛顿力与惯性力加以区分。从惯性力的引入及惯性力的性质出发，可对惯性力有更深的认识。

　　关键词： 惯性 惯性力 惯性系 非惯性系 保守力

　　1.引言

　　惯性是物理学中最基本的概念之一，也是学习物理学最早遇到的概念之一。这一极为普通和基本的概念曾经引导许多物理学家深入思考和剖析。由于牛顿运动定律只在一定的参考系中成立，因此在经典物理学课程中都对惯性系与非惯性系、牛顿力与惯性力加以区分，但在不同专业的经典物理教学中对这个问题的处理是不同的。在物理专业的力学础中只介绍牵连平动惯性力和牵连惯性离心力；在理论力学教学中则介绍了惯性力的概念；而大多数普通物理的教学中却未引入惯性力定义，只是在近几年的一些基础物理教材中才有惯性力的介绍，但几乎都未对惯性力的性质进行深入探讨。本文在经典力学的范围内，对惯性力存在的原因和保守特性进行了讨论，并对惯性力的应用和惯性力场进行了探讨。

　　2.惯性系及惯性力的引入

　　运动的描述是相对的，对于不同的参考系同一物体的运动形式是相对的，对于不同的参考系同一物体的运动形式可以不同。尽管如此，相对于任意参考系，运动的描述都是有意义的，因而如果问题只涉及运动的描述，那么完全可以根据研究问题的方便任意选择参考系。但是问题如果涉及运动和力的关系，即要应用牛顿定律时，是否也可以任意选择参考系呢？

　　先看下面的这个例子：站台上停着一辆小车，相对于地面参考系，小车停着时，加速度为零，是因为作用在它上的力相互平衡，即合力为零的缘故，这符合牛顿定律。如果从加速启动的列车内观察这小车，即相对于作加速运动的车厢参考系来分析小车的运动将发现小车向车体前进相反的方向作加速运动，而它的受力情况并没有改变，合力仍然为零。合力为零而有了加速度，这是违背牛顿定律的，因此相对做加速运动的车厢参考系，牛顿定律不成立。

　　这样，在有些参考系中牛顿定律成立，而在另外一些参考系中牛顿定律不成立。实际上，牛顿定律在惯性参考系中才成立，惯性参考系就是牛顿第一定律定义的参考系，在此参考系中，一个不受力作用的物体将保持静止或者匀速直线运动。

　　惯性系有这样一个重要的性质，即如果我们确认了某一参考系为惯性系，则相对于此参考系做匀速直线运动的任何其他参考系也一定是惯性系，这是因为如果一个物体不受力作用时相对于那个原始惯性系静止或做匀速直线运动，则在任何相对于这原始惯性系做匀速直线运动的参考系中观测，也必然做匀速直线运动或静止，这也是在不受力作用的情况下发生的。因此根据定义，后者也是惯性系。

　　在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和处理物体的运动，如上所述，在这样的参考系中牛顿定律是不成立的，但是为了方便，我们常常利用牛顿第二定律分析问题，为此我们引入了惯性力这一概念。

　　首先我们讨论加速平动参考系的情况。设有一质点，质量为m相对某一惯性系S，它在实际的外力作用下产生加速度a，根据牛顿第二定律有

　　F=ma（1）

　　设想有另一参考系S′，相对于惯性系S以加速度a平动。在S′参考系中，质点的加速度是a′由运动的相对性可知

　　a=a′+a（2）

　　将（1）代入（2）中可得F=m（a′+a）=ma′+ma，质点受的合外力F并不等于ma′，因此牛顿定律在参考系S′中不成立。但是如果我们认为在S′系中观察时，除了实际的外力F外，质点还受到一个大小和方向由（-ma）表示的力，并将此力计入合力之内得

　　F+（-ma）=ma′（3）

　　则（3）就形式上理解为在S′系内观察质点所受的合外力也等于它的质量和加速度的乘积。因而也就可以在形式上应用牛顿第二定律了。

　　为了在非惯性系中形式地应用牛顿第二定律而必须引入的力叫做惯性力。由（3）可知在加速平动参考系中，惯性力的大于等于质点的质量和该非惯性系相对于惯性系的加速度的乘积，而方向与此加速度的方向相反。则有惯性力的定义式

　　F=-ma（4）

　　引入了惯性力，在非惯性系中我们就有了下述的牛顿第二定律的形式

　　F+F=ma′（5）

　　惯性力F是形式上的“假想的”力，真实的力有施力物体，惯性力没有施力物体。它是参考系的非惯性运动的表现形式，或者说是物体的惯性在非惯性系中的表现。它不是物体间的相互作用，也没有反作用力。因此惯性力又称作虚拟力。

　　例：在水平轨道上有一节车厢以加速度a行进，在车厢中看到有一质量为m的小球静止地悬挂在天花板上（见图1），试以车厢为参考系求出悬线与竖直方向的夹角。

　　解：在车厢内观察小球是静止的，即a′=0，它受的力除了重力和线的拉力外，还有一惯性力F=-ma，三力平衡。

　　相对于车厢参考系，对小球用牛顿第二定律则有

　　x′方向：Tsinθ-F=ma′=0

　　y′方向：Tcosθ-mg=ma′=0

　　将F=ma代入上式，消去T，可得θ=tan（a/g）。

　　惯性力和相互作用力不同。首先，惯性力不是相互作用的，不存在惯性力的反作用力；其次，无论在惯性系还是非惯性系中，都能观测到相互作用力，但只有在非惯性系中才能观测到惯性力。

　　3.保守力的概念的回顾与总结

　　在物理学中经常遇到这样一些力，它们对质点所做的功与质点所经过的路径无关，而只与质点的初、末位置有关，我们把这种力称为保守力。如果作用在质点上的力在质点的无穷小位移中所做的元功能够写成某一标量函数的全微分，即

　　F?dr=dU（6）

　　则此力F定是保守力。因此，保守力在质点运动的一段路程上所作总功等于函数U在路径的终、初位置的值之差，即

　　?蘩F?dr=U-U（7）

　　如果质点沿封闭轨道运动，则作用于质点上的保守力沿封闭路径对质点所做总功为零，即?蘩F?dr=0也可以用此力的旋度表示为

　　?塄×F=0（r=0点除外）（8）

　　因此，一般的，如果作用在质点上的力是一个与时间及质点的运动速度无关的力，那么这个力才可能是保守力。如果力或它的各个分量仅为位置坐标的函数，又满足（6）式或（8）式时，它才是保守力。

　　例如，质点在地面附近所受的重力mg，方向竖直向下，以地面为坐标竖直向上为Z轴方向，则重力的元功mg?dr=-mgdz=d（-mgz）可写成-mgz的全微分，故重力是保守力。弹簧的弹性力也是保守力，此外，万有引力、静电场力等均属保守力。

　　4.惯性力是保守力还是非保守力

　　在有些情况下，在非惯性系中出现的一些惯性力也表现出保守力的特点，可当作保守力处理。

　　4.1在直线加速平动的非惯性系中，如果非惯性系的平动加速度是常矢量（a=a′常矢量），即质点所受的惯性力是一常矢量（-ma），则在非惯性系中研究问题时，可将此惯性力F当作保守力来处理。因为在非惯性系中，F是一个常矢量，所以有?塄×F=0。可见匀变速直线运动的平动参考系中的惯性力可当作保守力处理。

　　4.2设S′系相对于惯性系S系具有的平动加速度a为变矢量:a=a（t）。虽然此时的惯性力场为无旋场，具有势函数，但惯性力F=-ma=F（t）为显含时间t的变量，因此这时的惯性力场为一瞬变场，其等势面仅瞬时意义。因做功过程是在一定时间内完成的，在运用积分计算惯性力F做功时不能将时间参数t固定，所以质点在惯性力场中运动时，惯性力F做的功并非等于势函数的增量。因此该惯性力场不是保守力场。此种情况的惯性力F不是保守力。

　　4.3在定轴转动的加速参考坐标系中，设S′相对于惯性系S系以均角速度ω定轴转动。质量为m的质点受到的惯性力F为惯性离心力F和科里奥利力F之和，即

　　F=F+F=-mω×（ω×r）-2m（ω×U）（9）

　　式中的科里奥利力F垂直于相对速度U，即垂直于位矢微元dr，所以质点在整个运动过中科里奥利力F不做功。

　　4.3.1对于-mω×（ω×r）取旋度

　　因为ω×（ω×r）=ω（ω?r）-ωr

　　所以?塄×［ω×（ω×r）］=?塄×［ω（ω×r）-ωr］

　　?塄×ω（ω?r）-?塄×ωr

　　ω?塄×r-ω?塄×r=0

　　结果表明，惯性离心力是由于转动引起的，在S′系中它是保守力。

　　4.3.2对-2m（ω×U）取旋度

　　?塄×（ω×U）=（U塄）ω-（ω塄）U+ω（?塄?U）-U（?塄?ω）

　　≠0（10）

　　结果表明，科里奥利力为非保守力，它由参考系S′的转动及质点在S′系中运动引起的。不能简化为某一势函数U的梯度。

　　综上所述，通常所指的惯性力就是以上四种惯性力的统称，因此，不能说惯性力就是非惯性系所具有的属性，也不能说惯性力是保守力，或是非保守力。

　　例题：证有心力是保守力。

　　在极坐标系中，力的分布和幅角θ无关；F=F（r）是具有对称性的有心力场，根据dA=Fdr+Fdθ知仅径向力做功，质点自r沿某曲线运动至r场力的功为

　　A=?蘩F（r）dr（11）

　　积分结果仅取决于上下限，即始末位置，故有心力场的功也与路径无关，因此有心力也是保守力。

　　参考文献：

　　［1］王少杰，顾牡.大学物理学.清华大学出版社，2006.12.

　　［2］漆安慎，杜婵英.普通物理学教程:力学.北京：高等教育出版社，2005.6.

　　［3］贾书慧.理论力学教程.清华大学出版社，2005.3.

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标签：惯性力惯性参考保守