数学模型解题法 [摘要]模型解题法就是针对几个
作者:admin 发布时间:2023-09-17 16:32:42 分类:妙招 浏览:56
[摘 要] 模型解题法就是针对几个基本图形的剖析,在复杂图形中找到简单模型,再利用模型中的结论,套模型出结果,其实质是教学经验的积累与再现,本文就将这种方法拿来与大家一起探讨.
[关键词] 基本图形;模型;应用
近年来,各地的中考试卷越来越重视对图形知识综合应用的能力,尤其是当几何图形与函数图象结合在一起时,学生往往会因为图形过于复杂而产生畏惧心理. 如何消除学生的图形恐惧症,如何让学生在中考中见图就喜,是我这些年一直在思考和努力解决的问题. 经过近三年的题海淘金,我总结了一些小小的经验,我们称之为“初中数学模型解题法”.
什么是模型解题法呢?首先,这不同于数学建模,因为数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践,即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式方法表达出来,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法和计算机技术进行求解. 但模型解题是指利用几个直观、简洁的纯数学图形,记住其中的结论,并在复杂图形中抽取出模型,从而快速理出解题思路的一种解题方法.
那如何建立模型呢?其实是数学教师在作业和习题的原型中,找到经常会碰到的相同的图形,将其摘录下来,整理归纳,用自己的数学语言把图形和结论展现给学生,像数学定理一样让学生熟记结论,即见图就能现思路. 所以说,模型解题法最大的好处是快速得到解题思路,化繁为简,但其也有局限性,在填空、选择的题型中可以直接使用,但解答题中还需稍加证明. 以下是部分模型的呈现,拿来与大家一起探讨.
模型一:角平分线夹角模型
模型展示?摇 (1)如图1所示,OA,OC分别是∠BAC,∠BCA的平分线,则∠AOC=90°+∠B.
(2)如图2所示,BP,CP分别是∠ABC,∠ACD的平分线,则∠P=∠A.
(3)如图3所示, AD,CD分别是∠EAC,∠FCA的平分线,则∠D=90°-∠B.
应用及分析 (1)如图4所示,在ABC中,∠B=60°,∠BAC和∠BCA的平分线AE,CF交于点O,求证:OE=OF.
(2)如图5所示,ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=____.
分析?摇 (1)若OF,OE能放到两个全等三角形中,即可得证,所以要构造与AOF,COE全等的三角形. 利用模型可得出∠AOC=90°+∠B=120°,∠AOF=∠COE=60°,若作∠AOC的平分线OD交AC于点D,则可证AOD≌AOF,COD≌COE. 于是可得OF=OD=OE.
(2)利用模型中的图2可知,∠BAC=2∠BPC=80°,而∠CAP是∠BAC的邻角,如果过点P作CD,AC,BA的垂线段,垂足分别为E,F,H,根据角平分线性质可得PE=PF=PH,则PA平分∠CAH,所以∠CAP=(180°-80°)÷2=50°.
模型二:角平分线+平行线等
腰三角形
模型展示?摇 如图6所示,OP是∠MON的平分线,AB∥ON,则OA=AB.
应用及分析?摇 (1)如图7所示,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BCD的平分线交于点E,且点E恰好在线段AB上. 若AD=7 cm,BC=8 cm,则AB=_____ cm.
(2)在ABC中,∠ABC≠∠ACB,BO,CO分别是ABC的内角或外角平分线,过点O作EF,使EF∥BC,且点E在直线AB上,点F在直线AC上,你能找出线段EF与BE,CF之间的关系吗?
(3)如图8所示,在ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连结AE,AF,那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论.
分析?摇 (1)由模型可知ADE与BCE都是等腰三角形,所以AE=AD=7 cm,BE=BC=8 cm. 所以AB=15 cm.
(2)利用模型可得图9和图10中,EF=BE+CF;图11中,EF=BE-CF.
(3)因为MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,所以很容易得出COE和COF是等腰三角形,所以OE=OC=OF. 所以当OA也等于这三边时,四边形AECF是矩形.
模型三:函数图象中的三角形
面积模型
在平面直角坐标系中,如果有一个三角形的每一边都不和坐标轴平行,则这个三角形的面积可以用水平宽与铅垂高乘积的一半来求解.
模型展示?摇 如图12所示,过ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高”(h),我们可得出一种计算三角形面积的新方法――SABC=ah,即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
应用及分析?摇 (1)如图13所示,A (4,a),B (-2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=图象的交点,点C是直线AB与y轴的交点,求反比例函数和一次函数的解析式,并求AOB的面积.
(2)如图14所示,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,在直线CB上方的抛物线上是否存在一点P,使PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析?摇 (1)由题可知,易求出两个函数的解析式,则A,B,C三点的坐标可知. 由模型可得,水平宽=A的横坐标-B的横坐标,铅垂高=OC,所以利用公式可求得面积.
(2)由题可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,设存在这样的点P. 因为点P在抛物线上,所以可设P(m,-m2+2m+3). 又因为直线BC的解析式为y=-x+3,过点P作y轴的平行线交直线CB于点M,则M(m,-m+3),于是PBC的水平宽=B的横坐标-C的横坐标=3,铅垂高=PM=P的纵坐标-M的纵坐标=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m. 所以S=×3×(-m2+3m)=-m2+m,所以当m=时,存在点P,使PBC的面积最大, 此时P,.
模型四:四点共圆模型
模型展示?摇 如图15和图16所示,∠C,∠D都是直角,AB是公共的斜边,则A,B,C,D四点共圆.
应用及分析?摇 (2011年浙江绍兴中考)抛物线y=-(x-1)2+3与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.
(1)如图17所示,求点A的坐标及线段OC的长.
(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连结BQ.
①若含45°角的直角三角板如图18所示放置,其中一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上,求直线BQ的函数解析式;
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.
分析?摇 因为(2)中∠CDE=∠CQE=90°,所以由四点共圆模型可知,以CE为直径画圆,则D,C,Q,E都在该圆上,又同弧所对的圆周角相等,所以∠CQB=∠E,从而确定了直线BQ的斜率,再利用点斜式,直线解析式迎刃而解.
著名科学家钱学森先生说:模型就是通过对问题的现象进行分析,利用我们考虑得来的原理吸收一切主要因素,略去一些不主要因素,所创造出来的一幅图画……模型其实就是一种最简化的图形,在学习中,它由最小的知识模块和操作方法组成. 模型解题是:用最简单的模块对应的规律去解决各种各样的问题. 其实,每一个教师都可以创造出“模型”,同样,每一个学生也可以. 比如去年我的学生自己总结出的模型:当题目中出现两个直角三角形相似时,可以用相等锐角的同一种三角函数来列四条线段成比例,这样就免去了找对应线段的麻烦. 再如,相似三角形中被大家所熟悉的基本模型――A型、X型、M型、母子相似图形,三垂足模型,我们都用得得心应手. 综上所述,只要我们善于思考、勤于发现,“模型”还会有更多,它是教学实践经验的结晶,能抓住题型的本质规律,提炼出若干个简单的解题模型. 通过“抓题型、套模型、出结果”的解题步骤,能实现利用有型的模块,解决千变万化的试题,让解题由难变易,化繁为简.
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