求函数的值域问题是高中数学学习中的基本问题，也是进一步学习其它数学知识的基础，求函数的值域，要求同学们具有坚实的数学基础，具有严谨，全面分析问题，和灵活解决问题的能力，下面介绍几种求值域的常用方法：

　　一、直接观察法

　　有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。

　　例１（１）求函数的值域。

　　（２）求函数的值域。

　　解：（１）先求函数的定义域：列不等式组

　　解得：

　　所以函数的定义域为： 而当x=，y=0

　　所以函数的值域为：

　　（２）函数的定义域为：Ｒ

　　因为所以：

　　所以函数的值域为：

　　注：利用观察法求函数的值域要熟练掌握一些基本函数的性质，如等函数的基本性质。

　　二、二次函数法（配方法）

　　二次函数或可转化为形如：类的函数值域问题均可用此法解决。

　　例２（１）求函数的值域。

　　（２）求函数的值域。

　　解：（１）解１：函数的对称轴：

　　，

　　所以原函数在上单调递增，有最小值f（1）=1，无最大值。

　　故原函数的值域为。

　　解２：

　　故原函数的值域为。

　　（２）令

　　（以下略）

　　三、换元法

　　运用整体代换将所给函数的值域转化为值域容易确定的函数，从而求得原函数的值域。

　　例３（１）求函数的值域。

　　（２）求函数的值域。

　　解：（１）令：

　　（以下略）

　　（２）

　　令：

　　，

　　所以原函数可化为：

　　（以下略）

　　注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。

　　四、逆求法

　　用函数的自变量（定义域）与函数值（值域）之间的相互制约关系，通过自变量的取值范围而得到函数值域的方法。

　　例４（１）求函数的值域。

　　（２）求函数的值域。

　　解：（１）由，得

　　由，

　　列不等式组：

　　解得：所以原函数的值域为：（－１，１］

　　（２）由

　　即有：

　　解得：所以原函数的值域为：（，１）

　　注：逆求法是根据所学的反函数与原函数的定义域与值域互换，但在求解过程中不一定要求出x，可保留x的某种形式。

　　五、判别式法

　　一般地，如果函数可化成关于x的一元二次方程：f（y）x2 +g（y）x+ψ（y）=0，可根据方程的判别式Δ＝g2（y）- 4f（y）ψ（y）≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：

　　（1）由于在变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R；否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。

　　（2）应分别讨论f（y）≠0和f（y）＝0两种情况。

　　例5（1）求函数的值域。

　　解：对于

　　由去分母并整理得：

　　（*）

　　①当y-2=0，即y=2时，（*）即为：

　　方程无解；

　　②方程(*)为一元二次方程,且

　　则由：

　　又

　　综合①②，可知原函数的值域为

　　六、单调性法

　　通过确定函数在定义域（或定义域的某个子区间）上的单调性求出函数值域的方法。

　　例6（1）求函数的值域。

　　（2）求函数的值域。

　　（3）求函数的值域。

　　七、奇偶性法

　　根据函数奇偶性的图象性质，先求出函数在半个定义域上的值域，再根据对称性求出函数在整个定义域上的值域的方法。

　　例7（1）求函数的值域

　　解：显然函数的定义域为：，并且函数是奇函数。

　　当x>0时，，

　　所以当，

　　又因为函数是奇函数，，

　　所以，原函数的值域为：

　　八、图象法

　　九、分离常数法

　　分离常数就是将分子中隐藏着分母的那部分分离出来，从而起到简化函数解析式的作用。

　　例8（1）求函数的值域

　　（2）求函数的值域

　　解：（2）（函数的定义域为：R）

　　令：

　　故原函数的值域为：

　　注：分离常数仅仅是一个简化解析式的步骤，有时分离常数后较容易，有时还需要用其它方法求解。

　　总之，求函数的值域，要根据解析式本身的特点，选取合适的方法，有时并不是只用一种方法就可以求解，而是需要综合使用几种方法进行求解，希望同学们平时的学习中多注意归纳、总结。

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