在平面直角坐标系中，除了之前所讲的常见的几何解法外，还经常可以考虑一些解析方法，请看最后的几种解法.

解法十二抓住了圆的本质特征，即圆上各点到圆心的距离始终等于半径的长，借助设坐标法，再利用两点间距离公式（即勾股定理）列方程求解.这个解法的实质就是求直线OP与圆的交点坐标.

此外，还可以将点P视为两直线的交点，采取求交点坐标的方法求解，即为下面的两种解法.

想要避免超纲之嫌，依然可以通过倒角，借助相似比或三角比，求出直线MN与坐标轴交点的方式进行．

3 解后反思

3.1 等腰直角三角形问题的常见解题策略

3.1.1 见等腰直角三角形，造三垂直结构

等腰直角三角形是三角形家族中的一类特殊成员，也是中考重要的命题载体.构造一线三直角是解决其存在性问题的一种重要策略，如本文的解法一至解法五.

如图2－1，先过等腰直角三角形的直角顶点作一条水平线或者竖直线，然后过另外两个顶点向其作竖直垂线或者水平垂线，构造出的四个阴影直角三角形均全等.选择其中任意两个，即为一种解法，它们是“一伙的”.其中有些搭配不能再简称为“一线三直角”，我们更愿意称其为“三垂直结构”.

事实上，只要过直角顶点任意作一条直线，再由另两个顶点向其作垂线，如图2－2，阴影的两个三角形依然全等，对应解法三.

“见等腰直角三角形，构造三垂直结构”，相对而言，直角顶点已知的情形比未知情形简单的多.前者可直接口算，而后者需设元，借助方程解决问题.在直角顶点未知的前提下，可采取适当的手段转化为已知情形：

如图2－3，可称“倍长法”，对应解法四；

而图2－4，可称“半缩法”，对应解法五.

45°是一个美妙的角，联想是基本的解题技巧.当我们遇到美妙的45°角时，自然联想到构造等腰直角三角形.

如图2－5，已知∠ABC＝45°，其中A、B为已知点，点C未知.

这时有四种构造方式，如图2－6所示，其中等腰Rt△ABD2是最佳的处理策略，缘自此时的直角顶点已知，优于其他的直角顶点未知，然后依托这个等腰直角三角形构造“三垂直结构”，你就可以玩转相关题目了.

3.1.2 见等腰，想旋转

等腰直角三角形属于等腰三角形中的一员，“见等腰，想旋转”也是一种常见的处理策略.

如图3－1，等腰Rt△ABP中PA＝PB，它为旋转奠定了天然的条件，可以将线段PO绕着点P按顺时针或者逆时针方向旋转90°，构造出“共直角顶点的双等腰直角三角形结构”，得到“手拉手”式的全等三角形，即为解法六.

事实上，此题除了可以绕点P旋转，也可以绕点A或点B旋转.图3－2即为绕点B旋转的方式，当然这里不仅涉及旋转变换，还涉及位似变换，不妨称为“旋似变换”.其实这种解法的辅助线类似于解法七.

更一般地，只要△APB的形状确定，如图3－3，可以把点O视为动点，将线段OA、OB、OP分别绕点A、B、P三点作旋转（或位似），利用旋转来可以建立起OA、OB、OP三者之间的关系，此类旋转方式一般有六种，可称为“旋转六法”.而OA、OB、OP组成的结构又可形象地称为“不等三爪图”，即“见不等三爪图，想旋转”！

3.2 三角法与相似法

三角形是多边形家族中最稳定的结构，多边形问题大都可以转化为三角形问题.解三角形是最基本的解题技能，譬如直角三角形中的勾股定理，相似（含全等）三角形以及三角函数等.

一个图形若是确定的，必然就是可解的，而且一般怎么确定就怎么求解，笔者称之为“基于确定性思想的因果关系分析法”.利用确定性思想来解三角形是解题必备的基本功.鸟叔认为，相似三角形是三角函数的基础与根本，而三角函数是相似三角形的浓缩与升华.相似体现两个三角形之间的关系，如相似比等，而三角则是确定和解三角形的重要工具.从这个角度看，相似、三角本为一家，解法七至解法十一都属此列.

3.3 解析法

很多几何问题，除了可以考虑几何构造法之外，还可以另辟蹊径，采取坐标解析法进行求解.运用坐标解析法解题的步骤是：首先在平面上建立直角坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程，然后运用代数工具对方程进行研究，最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案（摘自百度百科）.

解析思想促使人们运用各种代数方法解决几何问题，先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数法后就变得平淡无奇了.解析法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具.本文中解法十二至解法十六都是运用解析法来解决问题，其中为避免“k1k2=-1”等超纲之嫌，又可采取相似比或者三角比等手段.真可谓，几何代数不分家，数形结合百般好！

3.4 数学思想方法

每道数学题都有其灵魂高度，每种解题方法都有其思想境界.思想决定高度，站得高，方能望得远.上述各种解法中蕴含着丰富的思想，如确定性思想，它是一种重要的分析问题、解决问题的自然想法，确定的必可解；再如转化与化归思想，数学玩的就是转化，没有转化，就没有数学，转化思想在数学中无处不在；还有改“斜”归正、化斜为直的重要思想方法，包含平面直角坐标系中常见的“水平—竖直辅助线”、解析法中“k1k2=-1”的几何解释等.

由于篇幅较长，方法较多，鸟叔将其分成了多篇图文，请大家一定要连贯着去阅读，如果把这些方法都融会贯通，一定能对你的数学起到作用！

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