函数是初中数学的核心内容，也是抽象、模型、对应思想的主要载体，是高中数学函数内容的基础，函数也是数与形的自然载体，函数解析式有着代数的属性，函数图象和性质又有着几何属性，在平面直角坐标系中能实现数与形的完类结合。

在数学解题教学中，某些非函数问题通过建立半面直角坐标系，巧妙运用解析法可以得到有效的解决，在平时数学中值得关注。

1.过定点问题

例1. 一节课上，数学老师在黑板上给出了这样一道题目：

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝6，D是斜边AB的中点，过点D分别作BC、AC的垂线，垂足分别为E、F，G是线段AD上一点，连结EG交线段DF于点P，且DP＝1．

（1）求证：点G在以DF为直径的圆上．

（2）若以DF为直径的圆与线段GE相交于另一点M，求证：点M在线段BF上．

小州同学思考了几分钟后，有了这样的思路：

以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，把点G看成是直线EP与AB的交点．

请根据小州同学的思路，完成这道题目．

【分析】本题是圆和三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理、圆的定义、矩形的性质和判定、三角形中位线定理等知识，本题利用了构建平面直角坐标系这一特殊的辅助线作法，结合坐标与图形特点，三角形和四边形与圆的性质解决问题，并与直线的解析式相联系；本题思路特殊，要仔细领悟．

【解答】证明：（1）如图1，以点F为原点，AC所在的直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，

∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠ACB＝90°，

∴∠DFC＝∠ACB＝∠DEC＝90°，∴四边形DFCE是矩形，

∴DE∥AC，DF∥BC，

∴D是AB的中点，∴DE＝DF＝1/2×6＝3，

由题意得：点D（0，3），B（3，6），E（3，3），

∵PD＝1，∴PF＝2，∴P（0，2），

设直线BD的解析式为：y＝kx+b，

评注:第（1）题证明点G在圆上，只要证明点G到网心的距离等于半径，若以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立坐标系，那么很容易表示出点A，B，E，P的坐标，从而求出直线AB及EP的解析式，再进一步得出直线AB及EP的交点G的坐标。

而以DF为直径的圆的圆心坐标和半径均易求，这样问题得解；第（2）题以DF为直径的圆的解析式到高中才学，因此我们可以另辟蹊径，证明EC与BF的交点即为点M，于是问题就转化为求直线GE和BN的解析式，得出其交点K的坐标，再证明点K在圆上，于是点K就是点M第（1）小题不用解析法也可得证，但第（2）小题不用解析法显然有困难。

本题是一个几何证明题，如果没有原题中的提示，解题思路很难形成。

这就需要平时多加积累，获取经验，要证明直线过定点，往往可以建立合适的坐标系，求出点的坐标及直线解析式，验证点的坐标满足解析式即可，几何问题运用解析法，此题是比较典型的一例。

2. 操作性问题

例2．操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：

方案一：图形中的圆过点A、B、C；

方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点

纸片利用率＝

×100%

发现：

（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38。

2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．

探究：

（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

（说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点）．

【分析】此题属于圆的综合题，考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．

【解答】：发现：（1）小明的这个发现正确．

理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，

∴∠BCA＝90°，∴AB为该圆的直径；

解法二：如图二：连接AC、BC、AB．

易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN，

又∵∠BCN+∠CBN＝90°，

∴∠BCN+∠ACM＝90°，即∠BCA＝90°，

∴AB为该圆的直径；

评注：如果直接求直角三角形纸片的面积，需求两直角边长，纯粹用儿何方法难度较大，特别是方案三，需添多条辅助线，反复利用相似三角形的判定与性质定理才能求出两直角边长。

不妨换种思路，注意正方体展开图是六个小正方形，各内角均为直角，而且方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点，因此联想到若建立坐标系的话，可表示出小正方形各顶点坐标，从而各边所在直线的解析式也可求出，联立解析式组成方程组就可求得三角形各顶点坐标，再把三角形面积转化为矩形面积减去三个小直角三角面积，解起来可谓是水到渠成。

立方体展开图实际上也可以把它看成特殊的网格图，依托直角建立平面直角坐标系，由点的坐标得出特定的横向、纵向线段长度，进一步求出各图形面积，充分体现数学知识间的联系，综合运用数形结合、化归思想、函数思想等。

3．网格问题

例3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．

（Ⅰ）AE的长等于______；

（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）___________________________．

【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；

（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

证明：以A为原点建立平面直角坐标系，

评注：这是网格中的作图题，学生从对图形的直观感知可以知道点P，Q的大概位置，但若用无刻度的直尺找到点P，Q的准确位置，有较大的难度，如果纯粹用几何方法，基本图形不易构造，自然也就“疑无路”了，若借助于网格所提供的横纵线之间的关系，我们可以很方便地以点A为原点建立平面直角坐标系，这下“柳暗花明”了，直接求出直线AC和BC的解析式，设点P和点Q的坐标为未知数，根据AP=PQ=QB等量关系列出方程，从而确定点P。

Q的坐标及其位置，网格问题中，由于网格白身的位置及数量的特殊性，使得图形中存在一些特殊关系，如果在网格中建立平面直角坐标系，进而可以使图形的一般几何性质得以特殊化和数量化，用解析法确定点的位置、直线的位置关系等等。

有些题目如果借助几何直观图形未能找到解题途径，不妨换个视角思考。

以上几个题目利用几何图形的特殊性质（都含有直角）建立平面直角坐标系，用解析法都很质畅地解决了，数学试题的设计常常会将几何问题结合平面直角坐标系融入数形结合思想，从数、形两方面合作研究几何问题。

4. 方程不等式问题

例4．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是_______．

【分析】依题意画出函数y＝（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．

【解答】：依题意，画出函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．

函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0，转化为（x﹣a）（x﹣b）＝1，

方程的两根是抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝1的两个交点．

由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．

由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故答案为：m＜a＜b＜n．

变式1.若关于x的方程x2+px+q+1＝0的两个实数根是m、n（m＜n），关于x的方程x2+px+q﹣5＝0的两个实数根是d、e（d＜e），则m、n、d、e的大小关系是（　　）

A．m＜d＜e＜n B．d＜m＜n＜e C．d＜m＜e＜n D．m＜d＜n＜e

【解答】：二次函数y＝x2+px+q+1图象如图所示：

结合图象可知方程x2+px+q﹣5＝0的两个实数根即为函数y＝x2+px+q+1和y＝6的交点，即d＜m＜n＜e，

故选：B．

变式2.已知二次函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b），并且α，β（α＜β）是方程f（x）＝0的两根，则a、b、α、β的大小关系是（　　）

A．a＜α＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．α＜a＜b＜β D．α＜a＜β＜b

【解答】：设g（x）＝（x﹣a）（x﹣b），则f（x）＝g（x）﹣2（a＜b），

∴f（x）＝g（x）﹣2的图象可看做g（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象向下平移2个单位．

∵α、β（α＜β）是方程f（x）＝0的两根，a，b（a＜b）是方程g（x）＝0的两个根∴α＜a＜b＜β，故选：A．

变式4.“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与一次函数y＝kx+b有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝kx+b有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若方程|x2﹣4x+1|＝a有四个解

【解答】：∵方程|x2﹣4x+1|＝a有四个解，

∴函数y＝|x2﹣4x+1|与直线y＝a应有四个交点，

作函数y＝|x2﹣4x+1|的图象，如图．

由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣4x+1|的图象应有四个交点，

当0＜a＜3时，有4个交点．故答案为：0＜a＜3．

【点评】此题主要考查了函数图象与方程的解，根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决根的存在性及根的个数判断问题．

变式5．设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＞0）的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β与1，2之间的大小关系满足_______．

【解答】：设函数y＝（x﹣1）（x﹣2），

令m＝0，则（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得：x＝1或x＝2，

则函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），

故此函数的图象如图：

∵m＞0，∴y＞0，结合图象可得：x轴上方部分符合要求，

∴α，β与1，2之间的大小关系满足α＜1，β＞2．故答案为：α＜1，β＞2．

评注：本题表面上是一个一元二次方程问题，但可以运用二次函数的知识，借助函数y=（x-a）（x-b）草图，根据二次函数的增减性，由函数图象直观形象地得出结论，避免了复杂的计算，以形解数，把数形结合思想发挥得淋漓尽致、本题关键还是在于构造二次函数，其图象与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程（x-a）（x-b）=0的解，面图象与直线y=l的交点横坐标就是题中方程的解，二次方程、不等式都与函数有密切的联系，我们可以充分运用数形结合的思想方法，恰当地构造二次函数，把问题转化为函数问题来处理，并且力求充分利用函数图象特征、数学方法，灵活调动知识技能，创立独特的优秀解法。

5.根序框图问题

例5. 如图，是一个运算流程．

（1）分别计算：当x＝150时，输出值为______，当x＝27时，输出值为_____；

（2）若需要经过两次运算，才能运算出y，求x的取值范围；

（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．

【分析】（1）分别把x＝150与x＝27代入进行计算即可；

（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可；

（3）根据题意列举出x的值即可．

【解答】：（1）∵当x＝150时，3×150﹣1＝449＞365，∴输出值为449；

∵当x＝27时，3×27﹣1＝80＜365，∴80×3﹣1＝239＜365，

239×3﹣1＝716＞365，∴输出值为716．

故答案为：449，716；

（2）∵需要经过两次运算，才能运算出y，

∴无论运算多少次都不能输出．

评注：此题中程序框图是一个循环结构，对于第（3）小题，能否给出确切的x的范围，使之无论运算多少次都不能输出？我们可以用一种形象、具体的方法来求这个范围。

程序框图的运算其实就是求代数式3x-1的值，对于x的每一个确定的值，3x-1都有唯一确定的值与之对应，因此可构造一次函数y=3x-1，建立坐标系，通过图象法来解决。

如图12，先作出y=3x-1以

利用函数图象解决此代数式问题，非常形象直观！正如章建跃所说，“代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点”，函数是方程、不等式的一般化，方程、不等式可以看成是函数关系中的特例，函数可看成是一个动态的过程，而方程、不等式是其中一般变化过程或某个静态瞬间。

函效是用运动的观点来研究数，是数之间对应的变化关系，式子的值随其所包含字母的值的变化而变化，函数正是这一变化关系的符号化表示。

因此，构造函数解答有关代数式、方程及不等式的问题也是德国数学家大卫·希尔伯特认为，数学知识是一个不可分割的有机整体，它的生命力取决于各部分之间的联系。

借助于数轴及平而直角系，数量关系可以通过图形得以直观，而图形关系可以通过数量关系得以精细刻画。

正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。

”初中数学主要有四个模块，即代数、几何、函数、统计，图形与几何密不可分，而几何与代数又紧密相通，坐标就成了这三者之间沟通的桥梁。

有些代数与几何题看似与函数不沾边，但如果能对函数的概念、图象及性质了然于胸，当积累了一定经验后，解析法也就自然生成事实上，解析法也休现了《标准（2017年版）》中所说的数学学科核心素养的“三用”，坐标和图形本身即是数形结合，这是抽象思维，是用数学的眼光看世界；坐标系中的图形需通过逻辑推理、数学运算等发现和证明数学结论，是用数学的思维思考世界；而在一个变化过程中抽象出函数模型，建立相关知识之间的联系，是用数学的语言表达世界。

因此，解析法的巧妙运用不但为解题提供了一种新的途径，而且对数学学科核心素养的提升也具有重要意义。

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